Question

求解一道2重积分的题目，高手进！！！

Answer 1

解:令t=arcsinx,则有x=sint,故dx=costdt(第二换元法)
原式=∫{t[1
(sint)^2]}costdt/[(sint)^2×cost]
=∫t[1
(csct)^2]dt
=∫tdt
∫t(csct)^2dt
=(1/2)t^2
C1
∫-td[cot(t)]
=(1/2)t^2
C1
[-tcot(t)
∫cot(t)dt](分部积分法)
=(1/2)t^2
C1-tcot(t)
∫(cost/sint)dt
=(1/2)t^2
C1-tcot(t)
∫(1/sint)d(sint)
=(1/2)t^2
C1-tcot(t)
ln|sint|
C2
=(1/2)t^2-tcot(t)
ln|sint|
C
代入有:
原式=(1/2)(arcsinx)^2-(arcsinx)cot(arcsinx)
ln|x|
C
=(1/2)(arcsinx)^2-(arcsinx)√(1-x^2)/x
ln|x|
C
注:此题中主要使用了不定积分的第二换元法和分部积分法