Question

已知矩阵A可对角化，证明A的伴随矩阵也可对角化

A可逆，如题

Answer 1

证明：

矩阵A可对角化，则存在可逆阵P，使P^(-1)AP=N为对角阵，P*[P^(-1)AP]*P^(-1)=PNP^(-1)。

A=PNP^(-1)

A可逆，则A^(-1)

=[PNP^(-1)]^(-1)

=PN^(-1)P^(-1)

A*为A的伴随矩阵

则A*(A*)=|A|E

A*=A^(-1)|A|E=|A|A^(-1)

=|A|PN^(-1)P^(-1)

=P*[|A|*N^(-1)]P^(-1)

则P^(-1)*(A*)*P=|A|N^(-1)

因为N为对角阵，则N^(-1)为对角阵，从而|A|*N^(-1)为对角阵，所以根据定义可知，A的伴随矩阵A*也可对角化。

如果所有特征根都不相等，绝对可以对角化，有等根，只需要等根（也就是重特征值）对应的那几个特征向量是线性无关的，那么也可以对角化，如果不是,那么就不能了。

矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。

Answer 2

证明：
矩阵A可对角化，
则存在可逆阵P，使P^(-1)AP=N为对角阵,
P*[P^(-1)AP]*P^(-1)=PNP^(-1)
A=PNP^(-1),
A可逆，
则
A^(-1)=[PNP^(-1)]^(-1)
=PN^(-1)P^(-1)
A*为A的伴随矩阵，
则A*(A*)=|A|E，
A*=A^(-1)|A|E=|A|A^(-1)
=|A|PN^(-1)P^(-1)
=P*[|A|*N^(-1)]P^(-1)
则
P^(-1)*(A*)*P=|A|N^(-1)
因为N为对角阵，则N^(-1)为对角阵，
从而|A|*N^(-1)为对角阵，
所以根据定义可知，
A的伴随矩阵A*也可对角化。