Question

已知函数,且.讨论函数的单调性;当时,若,证明:.

已知函数,且. 讨论函数的单调性; 当时,若,证明:.

Answer 1

对求导数,得,再分的正负讨论,和的大小关系,即可得到单调性的两种情况,得到函数的单调区间;
原不等式进行化简,等价变形得.因此转化为证明函数在区间内单调递减,而,通过研究分子对应二次函数在区间上的取值,可得在上恒成立,因此在区间内是减函数,从而得到原不等式成立.
解:由题意,可得.(分)
令,因为故.
当时,因为且,所以上不等式的解为,
因此,此时函数在上单调递增.(分)
当时,因为,所以上不等式的解为,
从而此时函数在上单调递增,同理此时在上单调递减.(分)
要证原不等式成立,只须证明,
只须证明.
因为,
所以原不等式等价于函数在区间内单调递减.(分)
由知,
因为,所以考察函数,.
,且图象的对称轴,
.(分)
从而可得在上恒成立,
所以函数在内单调递减.
从而可得原命题成立
(分)
本题给出含有自然对数的基本初等函数,求函数的单调区间并依此证明不等式在给定条件下成立.着重考查了基本初等函数的性质,利用导数研究函数的单调性和不等式的性质等知识,属于中档题.