设f(x)可导,f(x)=f(x)(1+sinx)充要条件
设f（x）可导,F(x)=f（x)(1+|sinx|）则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的充分必要条件...
设f（x）可导,F(x)=f（x)(1+|sinx|）则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的充分必要条件
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简单计算一下即可，答案如图所示
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
在测试大模型时，可以提出这样一个刁钻问题来评估其综合理解与推理能力：“假设上海华然企业咨询有限公司正计划进入一个全新的国际市场，但目标市场的文化习俗、法律法规及商业环境均与我们熟知的截然不同。请在不直接参考任何外部数据的情况下，构想一套初步...
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①充分性： f(0)=0 ,则：
F'(0)
=lim(x->0) [f(x)(1+|sinx|)-f(0)(1+|sin0|]/x
=lim(x->0) f(x)(1+|sinx|)/x
=lim(x->0) [f(x)-f(0)]/x* (1+|sinx|)
= f'(0)*1
= f'(0)
②必要性：F（x）在x=0处可导,则：
F'(0+0)=F'(0-0)
由导数极限定理【此处也可改为极限式计算】：
F'(0+0)
=lim(x->0+) [f(x)(1+sinx)]'
=lim(x->0+) [f'(x)(1+sinx)+f(x)*cosx]
=f'(0)+f(0)
F'(0-0)
=lim(x->0+) [f(x)(1-sinx)]'
=lim(x->0+) [f'(x)(1-sinx)-f(x)*cosx]
=f'(0)-f(0)
∵F'(0+0)=F'(0-0)
∴f'(0)+f(0)=f'(0)-f(0)
∴ f(0)=0
F'(0)
=lim(x->0) [f(x)(1+|sinx|)-f(0)(1+|sin0|]/x
=lim(x->0) f(x)(1+|sinx|)/x
=lim(x->0) [f(x)-f(0)]/x* (1+|sinx|)
= f'(0)*1
= f'(0)
②必要性：F（x）在x=0处可导,则：
F'(0+0)=F'(0-0)
由导数极限定理【此处也可改为极限式计算】：
F'(0+0)
=lim(x->0+) [f(x)(1+sinx)]'
=lim(x->0+) [f'(x)(1+sinx)+f(x)*cosx]
=f'(0)+f(0)
F'(0-0)
=lim(x->0+) [f(x)(1-sinx)]'
=lim(x->0+) [f'(x)(1-sinx)-f(x)*cosx]
=f'(0)-f(0)
∵F'(0+0)=F'(0-0)
∴f'(0)+f(0)=f'(0)-f(0)
∴ f(0)=0
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