Question

线性代数求解

已知两 n 维向量   (a1 , a2 ,, an ) ，   (b1 , b2 ,, bn ) 是两个非零的正交向量，证明： n 阶方阵 A   T  的特征值全为零，且 A 不可对角化。

Answer 1

这个要用到行列式的一个性质，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，E1是m阶单位矩阵，E2是n阶单位矩阵，那么|λE1－AB|＝|λE2－BA|，所以设

那么因为a,b正交，所以BA＝0，那么aT·b的特征行列式就是|λE2－BA|＝|λE2|＝λ的n次方，令λ的n次方＝0，得到λ1＝λ2＝...＝λn＝0。代入λ＝0到(λE1－AB)x＝0，得到特征向量x满足的方程ABx＝0，这里AB的秩是1，因为AB的行向量都是行向量B的倍数，所以线性无关的特征向量的个数就是这个方程组线性无关的解的个数，就是基础解系中解的个数等于n－R(AB)＝n－1，n阶矩阵可以对角化当且仅当有n个线性无关的特征向量，但是AB只有n－1个线性无关的特征向量，所以AB不可以对角化