Question

关于函数y=f（x），有下列命题：①若a∈[-2，2]，则函数f（x）=x2+a...

关于函数y=f（x），有下列命题： ①若a∈[-2，2]，则函数f（x）=x2+ax+1的定义域为R； ②若f（x）=log12（x2-3x+2），则f（x）的单调增区间为（-∞，32）； ③函数f(x)=loga(x+ax-4)(a＞0且a≠1)的值域为R，则实数a 的取值范围是0＜a≤4且a≠1； ④定义在R上的函数f（x），若对任意的x∈R都有：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x） 则4是y=f（x）的一个周期． 其中真命题的序号是_____．

Answer 1

解：①f（x）=x2+ax+1的定义域为{x|x2+ax+1≥0}，设t=x2+ax+1，当a∈[-2，2]时，△=a2-4≤0，∴x2+ax+1≥0的解集是R，故函数f（x）=x2+ax+1的定义域为R，故①正确；
②f（x）=log12（x2-3x+2）的定义域是{x|x2-3x+2＞0}，即{x|x＜1，或x＞2}，对称轴是x=32，
∴f（x）的单调增区间是（-∞，1），故②不正确；
③函数f(x)=loga(x+ax-4)(a＞0且a≠1)的值域为R，则真数可以取到一切正实数，所以2a-4≤0，所以实数a 的取值范围是0＜a≤4且a≠1，故③正确；
④∵对任意的x∈R都有：f（1+x）=f（1-x），∴f（2+x）=f（-x），f（2-x）=f（x），∵f（-x）=-f（x），∴f（2+x）=f（2-x）
∴f（4+x）=f（x），∴4是y=f（x）的一个周期．
综上知，正确命题的序号为：①③④
故答案为：①③④