Question

已知函数f（x）=a?2|x|+1（a≠0），定义函数F(x)=f(x)，x＞0-f(x)，x＜0给出下列命题：①F（x）=|f（x）|

已知函数f（x）=a?2|x|+1（a≠0），定义函数F(x)=f(x)，x＞0-f(x)，x＜0给出下列命题：①F（x）=|f（x）|； ②函数F（x）是奇函数；③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正确命题的序号是（　　）A．②B．①③C．②③D．①②

Answer 1

解：由题意得，F（x）=

a?2x+1，x＞0 -a?2-x-1．x＜0

，
而|f（x）|=

a?2|x|+1，f(x)＞0 -a?2|x|-1，f(x)＜0

，它和F（x）并不是同一个函数，故①错误；
∵函数f（x）=a?2^|x|+1是偶函数，
当x＞0时，-x＜0，则F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x）；
当x＜0时，-x＞0，则F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x）；
故函数F（x）是奇函数，②正确；
当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，
若mn＜0，m+n＞0，总有m＞-n＞0，
∴F（m）＜F（-n），即f（m）＜-F（n），
∴F（m）+F（n）＜0成立，故③正确．
故选C．