Question

急急急求一道高中圆锥曲线题

已知抛物线y=-x∧2/2,点A,B及p（2，-2）都在抛物线上，直线PA、PB的倾斜角互补。 （1）证明：直线AB的斜率为定值 （2）当直线AB在y轴上的截距大于-6时，求△PAB面积的最大值

Answer 1

（1）采用逆推法
设A、B的坐标分别为（a,-a^2/2）、（b,-b^2/2）
AB的斜率为K=(-a^2/2+b^2/2)/(a-b)=-(a+b)/2
当前只需要证明a+b为定值即可
设PA、PB的斜率分别为k1、k2，则有
k1=(-a^2/2+2)/(a-2)=-(a+2)/2
同理，k2=-(b+2)/2
根据互补的特点，所以k1+k2=0
即[-(a+2)/2]+[-(b+2)/2]=0,得a+b=4，
即K为定值，K=-2
(2)
利用上题结论，AB为一组斜率为-2的直线
设AB的方程为y=-2x+m
过P作PC垂直AB于C，根据垂直性质，可得PC的斜率为1/2，代入P点坐标，解得PC的方程为y=x/2-3
联列AB、PC方程解得C点坐标为（2(m+3)/5,(m-12)/5）
联列抛物线方程与AB方程解得AB两点坐标分别为
(2+√(4-2m),m-4-2√(4-2m))、(2-√(4-2m),m-4+2√(4-2m))
由于SPAB=PC*AB/2，AB>O,PC>0,只需讨论AB^2*PC^2的最大值即可
代入两点间公式，解得
Smax=32