Question

已知幂函数f(x)=x^(m^2-2m-3)(m∈Z)在(0，+∞)是单调性函数，且为偶函数

1、求f(x)的解析式 2、讨论F(x)=af(x)+(a-2)x^5·f(x)的奇偶性

Answer 1

已知幂函数f(x)=x^(m^2-2m-3)，m属于Z，为偶函数，且区间(0,正无穷大)上是减函数
1、求f(x)的解析式
2、讨论F(x)=af(x)+(a-2)x^5•f(x)的奇偶性
【解】首先，由减函数有
m²-2m-3=(m-3)(m+1)<0
-1<m<3
而f为偶函数千说明m²-2m-3=(m-3)(m+1)为偶数
则m为奇数，所以只能有m=1
所以f(x)=x^(-4)
F(x)=af(x)+(a-2)x^5•f(x)=a•x^(-4)
+(a-2)x^5•x^(-4)
=
a•x^(-4)
+(a-2)x,
所以a=0时，F(x)=-2x，是奇函数。
a=2时，F(x)=
2x^(-4)，是偶函数。
a≠0，且a≠2时，函数是非奇非偶函数。