Question

高数级数问题？

这个是怎么推出来的啊，题目在图二，第5题，公式不太好推啊有没有详细一点的过程

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Answer 1

Answer 2

思路：
1.这道题是求xf(x)-g(x)的幂级数，分别求出f(x)与g(x)的幂级数再代入计算即可。
2.求f(x)的幂级数的时候运用到了先求导再积分的技巧。f(x)的导函数正好是g(x)。
3.g(x)的幂级数用的是(1+x)的α次方的泰勒公式（这条公式需要背下来），然后再把x换作x方得到。

追问

是这样的，过程我会，但是到了最后一步，因为(1-x)a这个公式写不出来具体的通项

然后我就合不起来

不知道怎么才能化成他给的那个结果

追答

你的目标是一个n的函数
观察你得到的前三项不就出来了

Answer 3

难点是二项展开后的通项：

[ln(x+√(1+x^2)]' = 1/√(1+x^2) = （1+x^2)^(-1/2)
C(α, k) = 1 + α + α(α-1)/2! + ... + α(α-1)(α-2)...(α-k+1)/k!, α 可以是任意实数。
二项展开后的通项： C(-1/2, k) x^(2k) k from 0 to oo
积分后的通项*x：C(-1/2, k) x^(2k+2)/(2k+1), k from 0 to oo
√(1+x^2) = C(1/2, k) x^(2k), k from 0 to oo
合并后的通项：C(-1/2, k) x^(2k+2)/(2k+1) - C(1/2, k) x^(2k), k from 0 to oo