Question

求微分方程y”=y'+x的通解

能否用常数变易法做这题？

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

用一阶微分方程的公式

Answer 3

y''-y' = x, 特征方程 r^2-r = 0, r = 0, 1,
则特解形式应设为 y = x(ax+b) = ax^2+bx
y' = 2ax+b, y'' = 2a, 2a-2ax-b = x, a = -1/2, b = 2a = -1
特解为 y = -(x/2)(x+2)
通解是 y = C1 + C2e^x - (x/2)(x+2)

追问

我还没学这种方法，能不能用常数变易法做?

追答

参数变易法：设 y' = p, 则 p' = p+x, dp/dx - p = x
对于齐次方程 dp/dx = p ， dp/p = dx, lnp = x+lnC,
p = dy/dx = Ce^x.
用参数变易法，设非齐次方程的解为 p = C(x)e^x
则 p' = C'(x)e^x+C(x)e^x, 代入p' = p+x，
得 C'(x)e^x+C(x)e^x = C(x)e^x + x, C'(x) = xe^(-x),
C(x) = ∫xe^(-x)dx = -∫xde^(-x) = -xe^(-x)+∫e^(-x)dx = -(x+1)e^(-x)+C2
非齐次方程的解为 p = dy/dx = C(x)e^x = -(x+1)+ C2e^x
y = -(x^2/2+x)+C2e^x + C1 = C1+C2e^x-(x/2)(x+2)

Answer 4

求微分方程y”=y'+x的通解
解：齐次方程 y''-y'=0的特征方程 r²-r=r(r-1)=0的根：r₁=0；r₂=1；
故齐次方程的通解为：y=C₁+C₂e^x；
设其特解为：y*=(ax+b)x=ax²+bx；
于是y*'=2ax+b；y*''=2a；代入原式得：
2a-(2ax+b)=-2ax+2a-b=x，故-2a=1，即a=-1/2； 2a-b=-1-b=0，∴b=-1；
∴特解为：y*=-(1/2)x²-x；
∴通解为：y=C₁+C₂e^x-(1/2)x²-x；
对追问的回答：用常数变易法求解微分方程y''-y'=x；
设y'=dy/dx=p；则y''=dy/dx=p'；代入原式得：p'-p=x.........①
先求齐次方程 p'-p=0的通解：p'=p; dp/dx=p; dp/p=dx；故得lnp=x+lnc；
即有p=ce^x；将c换成x的函数u，得p=y'=ue^x.........②；
dp/dx=y''=(du/dx)e^x+ue^x.......③
将②③代入原式并化简得：(du/dx)e^x=x；du=xe^(-x)dx；
积分之得：u=∫xe^(-x)dx=-∫xd[e^(-x)]=-[xe^(-x)-∫e^(-x)dx]=-[xe^(-x)+∫e^(-x)d(-x)
=-[xe^(-x)+e^(-x)]+c₂=-(x+1)e^(-x)+c₂.........④；
将④式代入②式并化简得：y'=-(x+1)+c₂e^x;
∴原方程的通解：y=∫[-(x+1)+c₂e^x]dx=-∫xdx-∫dx+∫c₂e^xdx=-(1/2)x²-x+c₁+c₂e^x;
即通解为：y=c₁+c₂e^x-(1/2)x²-x ;
注：抱歉，前面对追问的回答有误，现更正如上。常数变易法也可用于二阶方程。

追问

我还没学过这种方法，能否用常数变易法做？

追答

常数变异法只适用于一阶微分方程，二阶不适用。

追问

我是说通过降解的方式转换为一阶方程

追答

对追问的回答已写在正文的补充里了，请查看。