Question

求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值最小值。

当x在0到90°时又如何？

Answer 1

sinX+cosX=根号2（cos45sinx+sin45cosx）=根号2sin（x+45），当x在0~90时，x=45时值最大，为根号2。
y=sinX+cosX+2sinXcosX+2=sinx+cosx+2sinxcosx+1+（sinx）^2+(cosx)^2=sinx+cosx+1+(sinx+cosx)^2=(sinx+cosx+1/2)^2+3/4,
因为sinx+cosx最大是根号2，最小1，则y最大，最小代入即知

Answer 2

y
=
sinx+cosx+(2sinxcosx+sin^2x+cos^2x)+1
(sin^2x=sinxsinx)
=
sinx+cosx+(sinx+cosx)^2+1
设sinx+cosx=t
y
=
t^2+t+1
=
(t+1/2)^2+
3/4
t=sinx+cosx=(根号2)sin(x+π/4)
-2被根号2≤t≤2倍根号2
最小值，t=-1/2时，y=3/4
最大值,
t=2倍根号2时，y=9+2倍根号2