Question

已知函数,,()若,求函数的极值;()若函数在上单调递增,求实数的取值范围;()...

已知函数,, ()若,求函数的极值; ()若函数在上单调递增,求实数的取值范围; ()在函数:的图象上是否存在不同的两点,,使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足?若存在,求出;若不存在,请说明理由.

Answer 1

()写出,把代入后求导函数,求出导函数在定义域内的零点,然后判断导函数在不同区间段内的符号,从而得到原函数的单调性,最后得到函数的极值情况;
()根据函数在上单调递增,则其导函数在内大于恒成立,分离变量后可求不等式一侧所对应的函数的值域,从而求出的取值范围;
()利用反证法思想,假设两点存在,由线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足,利用两点求斜率得到,把也用两点的横坐标表示,整理后得到,令,引入函数,通过求函数的导函数判断函数单调性得到即,从而得出矛盾,说明假设错误.
解:()由,,
得:,
当时,.
.
函数的定义域为,且当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减,
有极大值,无极小值;
(),
则.
函数在上单调递增,则对恒成立.
即对恒成立.
时,,,又,.
则的取值范围是.
()假设存在,不妨设,
,
,
由,
.
令,,则,
在上单调递增,,
,即.
故.
所以不存在符合题意的两点.
本题考查了函数的单调性与导数之间的关系,考查了利用导数分析函数的极值,考查了利用分离变量法求参数的取值范围,训练了反证法解题的基本思想,()中的转化,变形及构造函数推出矛盾结论是该题的难点,此题属难度较大的题目.