Question

已知函数f(x)=lnx-a2x2-2x存在单调递减区间，则a的取值范围是( )...

已知函数f(x)=lnx-a2x2-2x存在单调递减区间，则a的取值范围是( )A.[-1，+∞)B.(-1，+∞)C.(-∞，-1)D.(-∞，-1]

Answer 1

解答:解:∵f(x)=lnx-
a
2
x2-2x(x＞0)，
∴f′(x)=
1
x
-ax-2
=
-ax2-2x+1
x
(x＞0)，
∵f(x)=lnx-
a
2
x2-2x存在单调递减区间，而x＞0，
∴存在x＞0，使得-ax2-2x+1＜0⇔存在x＞0，使得ax2+2x-1＞0.
当a＞0时，g(x)=ax2+2x-1为开口向上的抛物线，显然满足题意;
当a＜0时，g(x)=ax2+2x-1为开口向下的抛物线，若满足“存在x＞0，使得ax2+2x-1＞0”，必须△=4+4a＞0，
∴-1＜a＜0;
当a=0时，存在x＞0，使得ax2+2x-1＞0成立.
综上所述，a＞-1.
故选B.