Question

线性代数，对称矩阵的证明题

如果n阶实对称矩阵A满足A^3=En,证明：A一定是单位矩阵 答案是这样的，有点不懂的地方： 因为A^3=En 所以A的特征值一定是x^3=1的实根 （1.是不是因为对应的多项式为f（x）=x^3-1,所以，f(λ)=λ^3-1=0？） 所以λ1=λ2=λ3=1 A相似于单位矩阵必有A=En （2.我觉得因为A是对称矩阵所以必有正交阵P,使得P^-1*A*P=P'*A*P=∧,∧的对角元为1，1，1，所以相似于E，可是方阵是n阶，λ只是一个特征值，那么就能相似于En吗？相似的对角阵不是应该也是n阶吗，应该有n个特征值啊！）

Answer 1

第一问：
因为A是实对称矩阵，所以存在正交矩阵P
P'AP=∧
∧是A的特征值构成的对角阵
A=P∧P'
A^3=P∧^3P'=E
所以∧^3=E
所以λ1^3....λn^3都等于1
所以λ1=λ2=..=λn=1
第二问：因为有n个特征值，且实对称阵必能相似于对角阵(书上的定理)
所以A相似于这n个特征值构成的对角阵
P'*A*P=E
所以
A=PEP'=PP'=E
刚才看错题目了，呵呵，如果还有什么不明白可以发信给我，给你详细讲解