Question

一道线性代数题，设α1=(a,2,10)T,α2=(-1,1,4)T,α3=(-2,1,5)T,β=(1,b,c)T ?

本人学术不精，线性方程组这章学的一塌糊涂，还望有大拿鼎力相助！给小弟弟我详解一下这道题怎么写？

Answer 1

我给你个思路，你自己算一下：

考虑到这是三维线性空间，三个α向量作为基底表示。如果β无法被基底表示，说明三个α是共面的（矩阵[α1，α2，α3]的行列式为0），而β不在这个面内（矩阵[α2，α3，β]的行列式不为0）。
如果β可以被唯一表示，说明三个α不共面（矩阵[α1，α2，α3]的行列式不为0）。
如果表示形式不唯一，也就是说，有一个α多余了。说明三个α共面，且β在这个面内（矩阵[α1，α2，α3]的行列式为0，且矩阵[α2，α3，β]的行列式为0）。
算行列式就完了，化简后的式子就是abc要满足的条件

追问

我是经管类的学生，向量空间的内容没有学，可以从别的角度解答这道题吗？答案是①a≠-4②a=-4,3b-c≠1③a=-4,3b-c=1，β=ka1+(-1-b-2k)a2+(2b+1)a3

追答

莫得办法啊......这的确不是什么高深的知识啊，已经是很简单的思路了。
我知道经管数学要求不高（高数现代好像都是B），但是这属于线代里很基础的知识，无论AB都要学的。我大概给你解释一下，你能理解就理解一下，理解不了就再看看课本相关知识或者死记硬背吧。
所谓的“用α表示β”，就是看能不能写成β=xα1+yα2+zα3。再简单点，就是用若干个（x,y,z个）α123向量合成一个β。
如果α全在一个面内，而β在这个面外，那你单纯根据几何上的直观感受，也清楚无论多少个α都是没办法合成一个β的。
而如果在面内的话，就肯定能表示了（平面直角坐标系不就是用一对互相垂直的xy来表示面内任意一个向量嘛。如果xy夹角不是直角，照样也能表示）。但是表示平面内任何一个向量的话，俩α就够了。具体看你选哪俩当参考坐标了，α选的不同，表示方法就不同，这就是所谓的表示方法不唯一。
更一般的。三维坐标系见过吧？类比一下空间直角坐标系，只要这仨坐标不在一个平面内，就能把空间内任意一个向量表示成xyz形式。
然后就是行列式的性质和含义了，这个东西实在绕不开，是线性代数的必学内容。对n维矩阵，行列式不等于0就代表其向量互不共线/面。说通俗点，就是能当坐标系的基底。等于0了，就代表出了毛病，有两个或多个向量共线/面了。
而你这一题里，α23已经给出来了，是不共线的。这样一来他俩肯定能当二维坐标系的基底。只要讨论能不能当三维坐标系的基底就行了。