Question

求微分方程y"+2y'+5y=0满足初始条件y|(x=0)=2，y'|(x=0)=0的特解

如下图示，求这个题详细过程，并且看看下图的参考答案是不是错了

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Answer 1

该齐次微分方程可以用特征方程来求解。求解过程如下:

书上的参考答案是正确的。

matlab解：

追问

按照公式不是 r=1±2i 这样吗，而且根号下小于零（不是不存在吗）怎么解？能不能帮我整明白，我不懂(；′⌒`)

追答

因为，当p²-4q<0时，其特征方程有一对共轭复数r1=α+β i，r2=α-β i，从而得到两个复函数解
y1=e^{(α+β i)x}，y2=e^{(α-β i)x}
这里，我们引用欧拉公式 e^(i θ)=cosθ+i sinθ 将y1、y2转换为实函数，得到
y1*=(y1+y2)/2=e^(αx)cos(βx)
y2*=(y1-y2)/2i=e^(αx)sin(βx)
由此，得到
Y=y1*+y2*=e^(αx)(C1cos(βx)+C2sin(βx))
由于r1=-1+2i，r1=-1-2i，这里α=-1，β=2，所以有
Y=e^(-x)(C1cos(2x)+C2sin(2x))

Answer 2

非常标准的解题方法，答案也没错

Answer 3

Answer 4

没错，已经是最详细了的了。