Question

我这样求极限怎么不对

lim (tanx-sinx )/sin∧3
x->0
用等价无穷小的方法求。

我是这样求的：lim tanx/sin ∧3 + (-lim sinx / sin∧3) = lim x / x∧3 + lim x / x∧3 =0

为什么不能这样求呢，依据lim [ f(x)+g(x) ]=lim f(x) + lim g(x)将分子分开的，这样不可以吗？

Answer 1

lim [ f(x)+g(x) ]=lim f(x) + lim g(x) 成立的条件是f(x)与g(x)的极限分别存在，

在本题中lim tanx/sin³x 与 lim sinx / sin³x 均不存在；

用等价无穷小代换后 tanx/sin³x ~ x/x³~1/x²，而lim(1/x²）当x→0时显然不存在;
类似的,lim sinx / sin³x 亦不存在。

正确的做法是：lim (tanx-sinx )/sin³x
=lim(1/cosx - 1)/sin²x
=lim(1 - cosx)/(sin²x·cosx)
=lim 2sin²(x/2)/(sin²x·cosx)

而sin²(x/2)~（x/2)²~x²/4
sin²x~x²
所以原极限=lim 2·(x²/4)/（x²·cosx)
=2·(1/4) / 1
=1/2

Answer 2

等价无穷小不能随便用~