Question

设数列{An}{Bn}{Cn}满足：Bn：An-A(n+2)，Cn=An+2A(n+1)+3A(n+2)(n=1，2，3....)

证明{An}为等差数列的充分必要条件是{Cn}为等差数列且Bn小于等于B（n+1）（n=1，2，3....）

Answer 1

先证明必要性：
{An}为等差数列，即A(n+1)-An=d，那么Bn=-2d，Bn=B(n+1);
C(n+1)-Cn=(An+1-An)+2(An+2-An+1)+3(An+3-An+2)=6d，{Cn}也是等差数列；
得证；
再证明充分性：
Bn小于等于B（n+1），
即B(n+1)-Bn=(An+1-An+3)-(An-An+2)=(An+1-An)-(An+3-An+2)>=0，
即An+1-An>=An+3-An+2（n=1，2，3....);
再由{Cn}(n=1，2，3....)为等差数列，
即C(n+1)-Cn=(An+1-An)+2(An+2-An+1)+3(An+3-An+2)=k为一常数；
又An+1-An>=An+3-An+2，即易得：
6(An+3-An+2)=<k=<6(An+1-An)；
同理由C(n+3)-C(n+2)=k易得6(An+5-An+4)=<k=<6(An+3-An+2);
因为k为常数，故有6(An+3-An+2)=k(n=1，2，3....)为常数,
An+3-An+2=k/6(n=1，2，3....);
*****
再由C3-C2=(A3+2A4+3A5)-(A2+2A3+3A4)=(A3-A2)+5k/6=k,所以A3-A2=k/6；
再由C2-C1=(A2+2A3+3A4)-(A1+2A2+3A3)=(A2-A1)+5k/6=k,所以A2-A1=k/6；
综上得：An+1-An=k/6(n=1，2，3....)为常数，即{An}为等差数列，
得证。