Question

已知数列{an}、{bn}满足:a1=1/4,an+bn=1,bn+1=bn/1-an^2.

Answer 1

（1）b1=3/4
b2=b1/1-a1^2=4/5
所以
a2=1/5
b3=b2/1-a2^2=5/6
所以
a3=1/6
b4=b3/1-a3^2=6/7
（2）将bn=1-an
代入第二式得
bn+1=（1-an）/1-an^2=1/（1+an）
1/（b(n+1)-1）-
1/(bn-1)
=
(-(an+1)/an)-(-1/an)=-1常数
所以数列{1/(bn-1)}是等差数列
（3）由（2）得
1/(bn-1)
=-4-（n-1）=
-（n+3）
所以bn=（n+2）/（n+3）
an=1/（n+3）
Sn=(1/4)(1/5)+(1/5)(1/6)+(1/6)(1/7)+……+(1/(n+3))(1/(n+4))
=(1/4)-(1/5)+(1/5)-(1/6)+(1/6)-(1/7)+……+(1/(n+3))-(1/(n+4))
=(1/4)-(1/(n+4))
=n/[4(n+4)]
4aSn=na/(n+4)
由4aSn＜bn
得
a<(n+2)(n+4)/[(n+3)n]
(n+2)(n+4)/[(n+3)n]这个式子的极限为1
所以a=1