Question

设f（x）=lnx+ax（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ...

设f（x）=lnx+ax（a∈R且a≠0）． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）若a=1，证明：x∈[1，2]时，f（x）-3＜1x成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
函数的f（x）的导数f′（x）=1x+a，
当a＞0时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，
当a＜0时，f′（x）=1x+a=ax+1x，
由f′（x）＞0，解得0＜x＜-1a，
由f′（x）＞0，解得x＜-1a，
∴函数f（x）在（0，-1a）上增函数，则（-1a，+∞）是减函数；
（Ⅱ）若a=1，f（x）=lnx+x，要证明：x∈[1，2]时，f（x）-3＜1x成立．
则只需要证明xlnx+x2-3x-1＜0，
则g′（x）=lnx+2x-2，
∵g′（1）=0，
∴设h（x）=lnx+2x-2，h′（x）=1x+2＞0，x∈[1，2]，
∴h（x）在x∈[1，2]上单调递增，∴g′（1）≤g′（x）≤g′（2），
即0≤g′（x）≤2+ln2，
∴g（x）在[1，2]上单调递增，∴g（x）≤g（2）=2ln2-3＜0，
∴当x∈[1，2]时，xlnx+x2-3x-1＜0恒成立，即原命题得证．