Question

高数幂级数问题， f(x)=(1+x)/(1-x)ˇ3展开成x的幂级数

Answer 1

f(x)=(2-(1-x))/(1-x)^3=2/(1-x)^3
-
1/(1-x)^2
=
(1/(1-x))''-
(1/(1-x))'。
1/(1-x)=∑x^n，-1＜x＜1。
逐项求导，得
1/(1-x)^2=∑nx^(n-1)=∑(n+1)x^n，-1＜x＜1。第一个幂级数的n从1开始，第二个的n从0开始。
2/(1-x)^3=∑n(n+1)x^(n-1)=∑(n+1)(n+2)x^n，-1＜x＜1。第一个幂级数的n从1开始，第二个的n从0开始。
所以，f(x)=∑(n+1)(n+2)x^n
-
∑(n+1)x^n=∑(n+1)^2x^n，-1＜x＜1。其中的n从0开始。