Question

矩阵不可逆行列式一定为0吗

Answer 1

矩阵不可逆行列式一定为0，矩阵不可逆，一定有一个特征值是0。因为若矩阵不可逆，可矩阵的行列式为为0，又因为矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，故必有一个特征值为0。

矩阵不可逆行列式过程

设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特征值，x是A属于特征值λ的特征向量。

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

矩阵不可逆的条件

1.|A| = 0

2.A的列(行)向量组线性相关

3.R(A)<n

4.AX=0 有非零解

5.A有特征值0

6.A不能表示成初等矩阵的乘积

7.A的等价标准形不是单位矩阵