用极坐标计算二重积分∫∫[D](6-3x-2y)dxdy=?其中,D:x^2+y^2

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天罗网17
2022-06-11 · TA获得超过6198个赞
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令x=rcosθ,y=rsinθ,则0<r<R,0<θ<2π.所以原积分=∫(0到2π)dθ∫(0到R)(6-3rcosθ-2rsinθ)rdr
=∫(0到2π)[(3r^2-r^3cosθ-2/3×r^3sinθ)(r=R)-(3r^2-r^3cosθ-2/3×r^3sinθ)(r=0)]dθ
=R^2∫(0到2π)[(3-Rcosθ-2/3×Rsinθ)dθ
=R^2×(3θ-Rsinθ+2/3×Rcosθ)(θ=2π)-R^2×(3θ-Rsinθ+2/3×Rcosθ)(θ=0)
=6πR^2.
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