Question

二重积分关于x和y的关系式,如何判断其对称性?

Answer 1

如若将y替换为-y，表达式不变，则关于x轴对称；表达式变为相反数，则关于x轴反对称；如若将x替换为-x，表达式不变，则关于y轴对称；表达式变为相反数，则关于y轴反对称；如若将x和y互换，表达式不变，则关于y＝x对称；表达式变为相反数，则关于y＝x反对称。

对称的情况对于被积函数和积分域都有效，反对称的情况对于被积函数的表达式，积分域的对称性需要定义积分域的所有表达式的集合有对应的对称性才成立，即所有表达式都经历某一种变换后，表达式的集合不变。

若被积函数与积分域都关于某个轴对称，则积分值为对称轴一侧的积分域上的积分的2倍；若被积函数关于某个轴反对称而积分域关于同一个轴对称，则积分值为0。由于积分的可加性，被积函数中相加减的每一项可以单独运用以上性质。

二重积分的本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分，同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等等。