Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=-√2x

问题：已知直线x-y+m=0与双曲线交于不同的两点A,B，且线段AB的中点在圆x^2+y^2=5上，求M的值

Answer 1

设A，B点坐标为；(x1，y1)，(x2，y2)，则：
AB的中点坐标为：(
(x1+x2)/2，y1+y2)/2
)。
依题意得：
x1^2-y1^2/2=x2^2-y2^2/2=1，
x1-y1+m=x2-y2+m=0。
所以(x1^2-x2^2)=(y1^2-y2^2)/2，
x1-x2=y1-y2，
所以
x1+x2=(y1+y2)/2。（上两式相除而得）
又AB的中点在直线x-y+m=0，
所以
(x1+x2)/2-(y1+y2)/2=m，
所以
(x1+x2)/2=-m，(y1+y2)/2=-2m。
故
AB的中点坐标为：(-m
-2m)，
代入圆：x^2+y^2=5，得：
(-m)^2+(-2m)^2=5，
所以
m=1，或
-1。