Question

求下列不定积分（用牛顿-莱布尼兹公式）

求解详细的过程（两题）

Answer 1

第一题算出见下图一，第二题出见下图二。

1、牛顿莱布尼兹公式就是求出不定积分，然后把上下限带进去就可以算出来。

2、用三角换元法，变化上下限。

课本上有这个公式，用x=2sinu替换,。

 

牛顿莱布尼兹公式

牛顿莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。

Answer 2

这是高等数学当中的微积分，牛顿的方法和莱布尼兹的方法是不一样的，我觉得牛顿的方法更好一些，你可以用他的。

Answer 3

(2)

∫(0->2) (√x+x^2) dx

利用 ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1)+ C

=[ (2/3)x^(3/2) +(1/3)x^3]|(0->2)

带入积分上下限

= (2/3)(2)^(3/2) +8/3

= (4/3)√2 +8/3

得出结果

∫(0->2) (√x+x^2) dx =(4/3)√2 +8/3

(4)

令

x=2sinu

dx=2cosu du

x=0, u=0

x=1, u=π/2

∫(0->1) dx/√(4-x^2)

=∫(0->π/2) 2cosu du/(2cosu)

=∫(0->π/2) du

=π/2

得出结果

∫(0->1) dx/√(4-x^2)=π/2

Answer 4

约定：∫[a,b]表示[a,b]上的定积分
(1)原式=∫[0,π]|sinx-cosx|dx
=∫[0,π/4](cosx-sinx)dx+∫[π/4,π](sinx-cosx)dx
=(sinx+cosx)|[0,π/4]+(-sinx-cosx)|[π/4,π]
=(√2-1)+(1+√2)
=2√2
(2)原式=∫[-1,1]1dx+∫[1,3]x^2dx
=x|[-1,1]+(1/3)x^3|[1,3]
=2+(9-1/3)
=32/3
希望能帮到你！

Answer 5

(2) I = (2/3)[x^(3/2)]<0, 2> + (1/3)[x^3]<0, 2> = (4/3)(2+√2)
(4) 令 x = 2sint，则 dx = 2costdt，
得 I = ∫<0, π/2>2costdt/(2cost) = [t]<0, π/2> = π/2