Question

四次方程求根公式

Answer 1

四次方程求根公式如下：

一元四次方程求根公式：ax4+bx3+cx2+dx+e=0（a≠0,a,b,c,d,e∈R）p=-（3b2-8ac）q=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3er=-（b3-4abc+a2d）2。

一元四次方程适用未知数最高次项的次数不大于四的多项式方程。其解法是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。

一元四次方程来源：

费拉里代替卡当与塔塔利亚辩论并比赛时，风华正茂，他不仅掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因而在辩论与比赛中取得了胜利，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。

一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后，把问题归结成了一元二次方程从而得解的。于是，如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。

性质设方程的四根分别为：

x1=(-b+A+B+K)/(4a)。

x2=(-b-A+B-K)/(4a)。

x3=(-b+A-B-K)/(4a)。

x4=(-b-A-B+K)/(4a)。

(A,B,K三个字母足以表示任意三个复数，根据韦达定理：方程四根之和为-b/a，所以当x1，x2，x3的代数式为原方程的三根时，那么x4形式的代数式必是方程的第四个根。)

将这四个代数式代入到韦达定理中可整理得：x1+ x2+ x3+ x4= -b/ax1x2 +x1x3+ x1x4+ x 2 x3 + x2x4+ x3 x4=(1/8a2)(3b2-A2-B2-K2)=c/ax1x2x3 +x1x2x4+ x1 x3 x4+ x2 x3 x4= (1/16a3)(-b3+bA2+bB2+Bk2+2ABK)= -d/a。

x1x2 x3 x4=(1/256a4)(b4+ A4+B4+K4-2b2A2-2b2B2-2b2K2-2A2B2-2A2K2-2B2K2-8bABK)=e/a。