Question

已知函数f（x）=x2+ax+b．（1）若对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a...

已知函数f（x）=x2+ax+b． （1）若对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，证明：b≥1； （2）当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为b-a+1，求a的取值范围； （3）若a=-2，关于x的方程|f（x）|=1有4个不相等的实数根，求b的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵x2+ax+b≥2x+a恒成立，即x2+（a-2）x+b-a≥0恒成立．
∴△=（a-2）2-4（b-a）≤0，
∴a2+4-4b≤0，∴4-4b≤0，∴b≥1．------（5分）
（2）∵当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为b-a+1，即f（-1），
∴f（x）图象的对称轴x=-a2要满足-a2≥-1+12，
∴a≤0．--------（10分）
（3）∵关于x的方程|x2-2x+b|=1有4个不相等的实数根，
∴方程x2-2x+b=1和x2-2x+b=-1各有两个不相等的实数根，
∴两个方程的判别式都要大于0，
∴4-4(b-1)＞04-4(b+1)＞0，
解得b＜0．---（15分）