Question

设事件a,b,c同时发生必导致事件d发生,则p(a)+p(b)+p(c)

Answer 1

这个题目用概率面积图来证明,因为担心加图被百度吞,你留个邮箱我发给你图片.
图中A表示事件A发生,A'表示事件A不发生,那么我们知道4个事件发生和不发生的组合应该是2的4次方共16种,但是,题目说ABC发生则D必发生,也就是说ABCD’这种组合的概率是0,因此图中就少了一块,只有15块面积了,这15块面积之和就是总概率1.
图中为了画图方便,将D分成两部分画,其中独立出来的一块S14就是A’B’C’D.
那么就有
P(A)=S1+S2+S3+S6+S8+S9+S12
P(B)=S1+S2+S4+S5+S8+S10+S11
P(C)=S1+S3+S4+S7+S9+S10+S13
P(D)=S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S14
P(A)+P(B)+P(C)
=(S1+S2+S3+S6+S8+S9+S12)+(S1+S2+S4+S5+S8+S10+S11)+(S1+S3+S4+S7+S9+S10+S13)
=3S1+2S2+3S3+2S4+S5+S6+S7+S8+S9+S10+S11+S12+S13+S14
=2S1+S2+S3+S4+(1-S15)=2S1+S2+S3+S4-S15+1
2+P(D)-[P(A)+P(B)+P(C)]
=2+(S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S14)-(2S1+S2+S3+S4-S15+1)
=(1-S1)+(S5+S6+S7+S14+S15)
=(S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8+S9+S10+S11+S12+S13+S14+S15)+(S5+S6+S7+S14+S15)
=(S2+S3+S4+S5+S6+S7+S14)+(S5+S6+S7+S8+S9+S10+S11+S12+S13+S14) +2S15 (1)
因为ABC同时发生,D一定发生,而D发生ABC的发生情况不定,则说明P(D)≥P(A)P(B)P(C),从图中面积来看,就是S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S14≥S1,即有S2+S3+S4+S5+S6+S7+S14≥0,取等号时也就是D的范围坍缩到S1这一部分了,也就是说,ABC同时发生和D发生着两种事件是等价的.根据概率的非负性,取等号的条件就是S2=S3=S4=S5=S6=S7=S14=0,继而根据(1)式有
2+P(D)-[P(A)+P(B)+P(C)]≥S5+S6+S7+S8+S9+S10+S11+S12+S13+S14+2S15≥0
其中第一个等号的条件是S2=S3=S4=S5=S6=S7=S14=0
而第二个等号取得的条件是S5=S6=S7=S8=S9=S10=S11=S12=S13=S14=S15=0
这两个≥号的＞部分是没有问题的,根据概率非负性就可以知道,关键是两个等号的取得条件是否冲突,从上面的条件可以看到,这二者是不冲突的,甚至在S5=0,S6=0、S7=0和S14=0这4个条件上是互相支持的,其他的项目没有重复,分别取就可以了,因此两个等号都可以取到,取到的条件总体来说就是
S2=S3=S4=S5=S6=S7=S8=S9=S10=S11=S12=S13=S14=S15=0
最终取等的条件就是P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=1