Question

8.求微分方程 y''-3y'+2y=2x(e^x+1) 的通解.

Answer 1

这是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，可以使用特征方程和常数变易法求解。
首先，先解特征方程：
r^2 - 3r + 2 = 0
可以因式分解为 (r-1)(r-2) = 0，解得 r1=1 和 r2=2。
因此，对应的齐次方程的通解为：
y_h(x) = c1e^x + c2e^(2x)
接下来，我们要求一个特解。根据非齐次项的形式，猜测特解的形式为：
y_p(x) = (ax+b)*e^x + (cx+d)*e^(2x)
其中 a、b、c、d 是待定常数。
将特解带入原方程，得到：
y''_p(x) - 3y'_p(x) + 2y_p(x) = 2x(e^x+1)
化简后，得到：
a = -1/2, b = 1/2, c = 1/2, d = 0
因此，特解为：
y_p(x) = (-1/2x+1/2)*e^x + (1/2x+1/2)*e^(2x)
将齐次解和特解相加，得到原方程的通解：
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1e^x + c2e^(2x) + (-1/2x+1/2)*e^x + (1/2x+1/2)*e^(2x)
其中 c1 和 c2 是任意常数。