Question

数学竞赛

证明：对于平面内任意给定的5个整点，其中一定存在两个整点，这两个点的连线的中点仍为整点

Answer 1

解：设5个点的坐标分别为（a1,b1),（a2,b2),（a3,b3),（a4,b4),（a5,b5).由于均为整点，则a1-5,b1-5都为整数。
假设A，B分别代表奇数和偶数，横坐标或A或B，有2种可能；纵坐标也是或A或B，有2种可能。任意整点的奇偶形态最多有2×2=4种：
（A，A），（A，B），（B，A），（B，B）。根据抽屉原理，该5个点中必有2个点奇偶形态重合。
该2个奇偶形态重合点连线的的中点横坐标是该两点横坐标之和的一半，纵坐标是该两点纵坐标之和的一半。由于A+A=B，为偶数；B+B=B，仍为偶数，所以无论哪种重合方式，该两点连线的中点的横纵坐标都是某个偶数的一半，故该两点的连线的中点为整点。
综上，原题得证。