高二数学函数的概念
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一.知识网络
二.高考考点
1.映射中的象与原象的概念;
2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;
3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;
4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.
三.知识要点
(一)函数的定义
1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).
2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有确定的数f(x)和它对应,那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.
3、认知:
①注意到现代定义中"A、B是非空数集",因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在.
②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.
(二).映射的概念
将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.
1、定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f：A→B
2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射 f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f：a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.
3、认知:
映射定义的精髓在于"任一(元素)对应(元素)",即A中任一元素在B中都有的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可"一对多",允许"多对一".因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为"满射"和"非满射"两类.
集合A到集合B的映射 f：A→B是一个整体,具有方向性； f：A→B 与 f：B→A 一般情况下是不同的映射.
（三）、函数的表示法
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.
1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.
2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数.
3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.
图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.
认知:函数符号的意义
在函数的概念中,我们用符号"y=f(x)"表示"y是x的函数"这句话.
其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则"f"表示解析式蕴含的对自变量x施加的"一套运算的法则",即一套运算的框架.
具体地,对于函数f(x)=5 -2x+3(x>1) ① 对应法则"f"表示这样一套运算的框架:5( ) －2（ ）＋3，（ ）＞1．
即f: 5( ) -2( )+3,( )>1. 据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:
f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5 -2a+3 (a>1);
f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5 -2x+3 (x>1);
f(g(x)):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有 f(g(x))=5 (x)-2g(x)+3 ( g(x)>1 ) ②
感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味①、②,不难从中悟出这样的代换规律:
f(x)的解析式f[g(x)]的表达式
我们将上述替换形象地称之为"同位替换".
显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于"等量替换"，又高于"等量替换"，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是"等量替换"所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例.
四.经典例题
例1.如右图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=t,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中( )
分析1:立足于f(t)在t∈[0,1]上的函数式.直线OA的方程为y=2x, 故当0≤t≤1时, s＝ ，,由此否定A,B,D,应选C.
分析2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态.
当l在O,D之间运动时,S随着t的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即ΔS1, ΔS2..., ΔSn是递增的(ΔSi是单位时间内面积的增量),故排除A和B,对于C和D,由t∈[0,1]时f(t)= 的凹凸性可排除D,故应选C.
例2.如图所示,梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(6,0),
B(4,2),C(2,2),一条与y轴平行的直线l从点O开始作平行移动,到点A为止.设直线l与x轴的交点为M,OM=x,并记梯形被直线l截得的在左侧的图形面积为y,求函数 y=f(x)的解析式,定义域及值域.
分析:如图,由于点M位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定l左侧图形形状的关键点,故以x=2,4 分划讨论的区间.
解: (1)当0≤x≤2时,上述图形是一等腰RtΔ,此时, y＝ ,即 ;
(2)当2<x≤4时,上述图形是一直角梯形.注意到它可分割为一个等腰rtΔ(确定的)和一个矩形,此时 ,即y="2x-2; (3)当4<x≤6时,上述图形是一个五边形,它可看成原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线l右侧),此时 ,即 因此,综合(1)、(2)、(3)得所求y=f(x)的解析式为
由此可知,f(x)的定义域为[0,2]∪ ∪ =[0,6].
又当0≤x≤2时, ,即此时0≤y≤2; 当2<x≤4时,2<2x-2≤6,即此时2<y≤6;
当4<x≤6时,6< ∪="[0,8]<br" ≤8,即此时6 点评:分段函数问题的基本解题策略:分段研究,综合结论.不过,在研究由实际问题产生的函数及其两域时,必须具体问题具体分析,必须考虑所给问题的实际情况.
例3. (1)已知f(x)=x2+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式; (2)已知 ,求f(x＋1)的解析式.
解: (1) ∵f(x)=x2+2x-1 (x>2) ∴以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+1>2)
∴f(2x+1)=4x2+8x+2 (x>1/2 )
(2)由已知得 ∴以x替代上式中的 得 f(x)=x2-1 (x≥1)
∴f(x+1)=(x＋1)2-1 (x+1≥1) 即f(x+1)=x2+2x (x≥0)
点评:上述求解也可运用换元法,但是,不论是"换元法",还是上面实施的"同位替换",它们都包括两个方面的替换:
(1)解析式中的替换; (2) 取值范围中的替换. 根据函数三要素的要求,这两个方面的替换缺一不可.
例4. 设y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],f(x-1)=x2,试求不等式f(1-x)<x的解集.
分析:为将不等式f(1-x)<x具体化,根据"同位替换"法则,先求f(1-x)的表达式.
解:由题设知,在y= f(2x+1)中有-1≤x≤1 -1≤2x+1≤3,
∴运用"同位替换"的思想 在f(x-1)中应有-1≤x-1≤3 ① 又由题设知f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1 ②
∴由①、②得f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1 (-1≤x-1≤3) ∴f(1-x)=(1-x)2+2(1-x)+1 (-1≤1-x≤3) 即f(1-x)=x2-4x+4 (-2≤x≤2)
于是有f(1-x)<xx2-4x+4<x(-2≤x≤2)x2-5x+4<0(-2≤x≤2)(x-1)(x-4)<0(-2≤x≤2)1<x<4(-2≤x≤2)1<x≤2
因此,所求不等式f(1-x)<x的解集为 . 点评:在这里,三个不同函数f(2x+1), f(x-1), f(x+1)均以x为自变量,x是"一仆三主".因此,在探求函数解析式或定义域时,一定要注意"两方替换",双管齐下.本例便是多次实施同位替换的良好范例.
例5. (1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B
①若映射f满足f(a)>f(b)≥f(c),则映射f的个数为 ;
②若映射f满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则映射f的个数为 ;
③若映射f满足 f(a)-f(b)=f(c), 则映射f的个数为 .
(2)设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从A到B的映射f满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),则映射f的个数为 .
分析:注意到f(a)的意义:在映射f：A→B之下A中元素a的象,故有f(a),f(b),f(c)∈B.为便于梳理思路,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法.
解: (1)由已知得f(a),f(b),f(c)∈B
①列表法：∵f(a)>f(b)≥f(c) ∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.
根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察: f(a) f(b) f(c) 1 0 0 1 0 -1 1 -1 -1 0 -1 -1 由此可知符合条件的映射是4个.
②列表法:注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值(从小到大)为主线列表考察 f(a) f(b) f(c) 0 0 0 0 1 -1 0 -1 1 1 0 -1 1 -1 0 -1 1 0 -1 0 1
由此可知符合条件的映射有7个.
③分类讨论：f(a)-f(b)=f(c) f(a)=f(b)+f(c)即a的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线(从小到大)展开讨论.
（ i ）当象集合为单元素集合时,只有象集{0}满足已知条件,此时符合条件的映射f只有1个.
（ ii ）当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0}或{1,0} {-1,0}:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;{1,0}:1=0+1,1=1+0
此时符合条件的映射有4个.
（ iii ）当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0,1} {-1,0,1}: 0=1+(-1), 0=(-1)+1∴此时符合条件的映射f有2个
于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为7.
(2)分类讨论:以象集合中元素的个数(从小到大)为主线展开讨论.
(i)当象集合为单元素集时,象集为{6}或{7}或{8},故此时满足条件的映射f有3个;
(ii)当象集合为双元素集时,先将A中元素分为两组,有 种分法,又每两组的象有3种情形,故此时符合条件的映射f有 ×3=12个;
(iii)当象集合为三元素集时,先将A中元素分为3组,有 种分法，又每三组的象只有1种情形,故此时符合条件的映射f有 ×1=6个。于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为3+12+6=21.
点评:在认知f(λ)(λ∈A)的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用方法(通性通法),请同学们在今后的解题中注意应用.
例6. 已知函数f(t)对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.
(1)求f(1)的值; (2)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.
分析:这是未给出具体的函数解析式,只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性,循着"一般"与"特殊"之间的辩证关系,想到从"特殊"(特殊取值或特殊关系)入手去破解"一般",以寻出目标.
解: (1)为了出现f(1),在上述恒等式中令x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1) ① 又令x=0,y=0得f(0)=-1 ②
令x=-1,y=-1得 f(-2)=2f(-1)+2 ∵f(-2)=-2, ∴f(-1)=-2 ③ ∴将②、③代入①得f(1)=1.
(2)为利用f(1)=1,在上述恒等式中令x=1得f(y+1)=f(y)+y+2f(y+1)-f(y)=y+2 ∴当t∈Z时,有f(t+1)-f(t)=t+2 ④
根据④,运用阶差法得 f(t)=f(1)+[f(2)-f(1)]]+...+[f(t)-f(t-1)] ∴f(t)=1+(1+2)+(2+2)+...+[(t-1)+2]=1+2(t-1)+ 即f(t)= ∴f(t)=t t2+t-2=0 (t-1)(t+2)=0 t=1或t=-2
于是可知,满足f(t)=t的整数t只有两个:t=-2,t=1.
点评: 函数f(x)当x取正整数时的问题，即为数列问题.所以,这里运用(或借鉴)了数列求和的思想或方法(阶差法或分项法).看透问题,把握本质,解题时方能联想顺畅,入手准确.这是我们始终所追求的境界.
五. 高考真题
(一)选择题
1. 在y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x这四个函数中,当0<x1<x2<1时, ). A.0 B.1 C.2 D.3
分析:运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2∈I,且x1<x2,当f(x)总满足 本题应选b 2.已知 ,则f(x)的解析式可取为( )
A. B. C. D.
分析:运用直接法． 令 =t，则x= (t≠-1), ∴f(t)= (t≠-1)∴f(x)= (x≠-1) 应选C
说明:注意到对于 ,有 =－1+ ≠-1,∴对于 f(x)应有x≠-1.若选项中的函数附加定义域,则从定义域入手筛选为上乘解法.
3. 设函数f(x)= ,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
分析: 从确定f(x)的解析式入手.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得
∴方程f(x)=x 或 或x=2 或x=2, 故本题应选C
4.设函数f(x)= ,则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为( )
A. ∪[0,10] B. ∪[0,1] C. ∪[1,10] D.[-2,0]∪[1,10]
分析:注意到解决分段函数的基本策略:分段研究,综合结论.
f(x)≥1 或 x≤-2 或 0≤x≤10,故应选A
运用特取法:取 ,则 ,由此否定C,D;取x=2,得 ,由此否定B,故本题应选A
(二)填空题
1.已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3, f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b= .
分析: 由f(x)=x2+4x+3得 f(ax+b)=(ax+b)2＋4（ax+b）+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3,
∴由已知条件得a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3= x2+10x+24
故有 ∴5a-b=2
2. 对于函数定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论:
① f(x1+x2)= f(x1)・f(x2) ② f(x1・x2)= f(x1)+f(x2)
③ ; ④ .
当f(x)=lgx时,上述结论中正确结论的序号是 .
分析:根据对数的运算法则知②正确,①不正确; 借助f(x)=lgx的图象,考察 的几何意义;经过点(x1, f(x1)),( x2, f(x2))的直线的斜率,可知③正确;注意到f(x)=lgx的图象"上凸",可知④正确.故本题应填②、③、④.
3.已知 ,则不等式x+(x+2)・f(x+2)≤5的解集是 .
分析: 注意到原不等式中"f"之下的式子为(x+2),为利用已知条件化抽象为具体,故从x+2的符号或取值入手进行讨论和等价转化. 原不等式 或 或 x<-2
∴原不等式的解集为 .
(三)解答题
1. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.
(1)求函数g(x)的解析式; (2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
分析: 求"对称曲线"的函数式或方程,基本策略是从点的对称切入探求.而对于含有绝对值的不等式,在运用公式或平方去掉绝对值不能实现时,"分类讨论"乃是解题取胜的杀手锏.
解: (1)设点Q(x0,y0)为y=f(x)图象上任意一点,点Q关于原点的对称点为P(x,y),则有
① ∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)图象上 ∴y0=x02+2x0②∴①代入②得-y=(-x)2+2(-x)
即 y=-x2+2x 故有g(x)=-x2+2x
(2) g(x)≥f(x)-|x-1|2x2-|x-1|≤0 当x≥1时,2x2-x+1≤0, 此不等式无解; 当x<1时, 2x2+x-1≤0 .
∴原不等式的解集为 .
点评:以"点对称"入手破解对称问题,以"绝对值的零值"分划讨论的区间,这都是解决相关问题的基本策略.
2.已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B, = ( 分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2-x-6
(1) 求k、b的值; (2) 当x满足f(x)>g(x)时,求函数 的最小值.
分析:对于(1),注意到k、b含在f(x)的解析式中,故从探求A、B点坐标切入,利用 = 建立方程或方程组;对于(2),则要注意立足于不等式f(x)>g(x)的解集，探求所给函数的最小值.
解: (1)由已知得A(- ,0),B(0,b),从而 =( ,b)、又 =(2,2),故得 ∴所求k=1,b=2.
(2) f(x)>g(x) x+2>x2-x-6 x2-2x-8<0 -2<x<4 ①
= = =(x+2)+ -5 (分离整式项) ②
又由①知 0<x+2<6 ③
∴由②得 -5=-3当且仅当x+2= 即x=-1(满足①式)时等号成立.
∴函数 的最小值为-3.
点评:在这里,运用不等式求所给函数的最小值,函数式的分离整式项的变形至关重要.一般地,当分子次数等于分母次数时,分式可分离出一个常数项;当分子次数大于分母次数时,分式可分离出一个整式项."分离"整式项的手法,是在分子实施"配凑",将分子表示为分母的函数式.
3.已知函数f(x)= (a,b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式; (2)设k>1,解关x的不等式 .
分析: 对于(1),从已知方程的实根入手推理.对于(2),则要注意求解分式不等式的基本过程:移项-通分-分解因式-转化(为整式不等式)-求解.这是解决这类问题的规范性、完整性以及完解完胜的基础与保障.
解: (1) f(x)-x+12=0 -x+12=0 将x1=3,x2=4代入方程得 解得 ∴f(x)=
(2)原不等式 f(x)- (2-x)[ ]<0
(x-2)(x-1)(x-k)>0※
(I) 当1<k<2时,由(※)解得1<x 2; (II)当k=2时,由(※)得(x-2)2(x-1)>0 1<x 2;
(III)当k>2时,由(※)得1<x k. 于是可知,当1<k≤2时,原不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞);
当k>2时, 原不等式的解集为(1,2)∪(k,+∞).
点评:本题突出考察分类讨论与数形结合的思想.在解高次不等式时,若采用"根轴法"，则可使解答更为快捷准确,请同学们一试.
4.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x), y=g(x),规定:函数
(1) 若函数f(x)= ,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式; (2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;
(3) 若g(x)=f(x+ ),其中 是常数,且 ∈ ,请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个 的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
分析: 对于(1),注意到h(x)为分段函数,探求函数解析式要立足于"分段探求,综合结论"的基本策略.对于(3),这里g(x)=f(x+ ),又注意到在大前提中h(x)的表达式以及此时f(x),g(x)的定义域均为R,可得h(x)=f(x) f(x+ ),又h(x)=cos4x,于是可由f(x) f(x+ )=cos4x入手展开联想与探求,这里的探求自然是从cos4x的"一分为二"的变形入手.
解: (1)这里Df=(-∞,1)∪(1,+∞) Dg=R ∴当x∈Df且x∈Dg,即x∈(-∞,1)∪(1,+∞) 时， ;
当x Df且x ∈ Dg,即x=1时,h(x)=g(x)=1; 又x∈Df且x Dg的x不存在,故得
(2)当x≠1时, =(x-1)+ +2 ∴若x>1, 则x-1>0, h(x)≥4,当且仅当x=2时等号成立;
若x<1, 则 x-1<0, 故有h(x)≤0, 当且仅当x=0时等号成立. 又当x=1时,h(x)=1.
∴函数h(x)的值域为 ∪{1}∪ .
(3)由题意得h(x)=f(x) f(x+ ) ①
又注意到cos4x=cos22x-sin22x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=(cos2x+sin2x) ②
∴由①、②知, 令f(x)= cos2x+sin2x (x∈R) = 则有g(x)= f(x+ )= = cos2x－sin2x
于是有 h(x)=f(x) f(x+ )=( sin2x + cos2x)(cos2x-sin2x)= cos22x-sin22x=cos4x.
点评: (I) 对于 (1),务必要注意逐段考察, 不可忽略f(1)=1.
(II) 既要注意(3)中g(x)=f(x+ ),又要注意大前提下的h(x)的表达式,双方结合推出h(x)=f(x) f(x+ ).至此,解题的难点得以突破,问题便归结为将cos4x化为互有关联的两式之积的三角变换.
5. 已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x) (1)求函数f(x)的表达式; (2)证明: 当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.
分析: 由于二次函数与反比例函数的形式确定,故运用"待定系数法"探求f1(x)与f2(x);对于(2),当对方程f(x)=f(a)直接求解感到困难时,要想到运用数形结合思想,适时转化为两个函数图象的交点问题.
解: (1)由题意设f1(x)=ax2, f2(x)= (k>0), 由f1(1)=1得a=1,故f1(x)=x2 又y=f2(x)的图象与直线y=x的交点分别为A ,B ,则由|AB|=8得k=8,故f2(x)= ∴ f(x)=x2+
(2) 证法一: 由f(x)=f(a)得x2+ = =－x2+
在同一坐标系内作出f2(x)= 与f3(x)= －x2+ 的大致图象,注意到f2(x)= 的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)= －x2+ 的图象则是以点(0, )为顶点,开口向下的抛物线.因此f2(x)= 与f3(x)= －x2+ 的图象在第三象限有一个交点, 即f(x)=f(a)有一个负数解. ①
又∵f2(2)=4, f3(2)= -4 ∴当a>3时, f3(2)－f2(2)= -8>0,
∴当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2, f3(2))在y=f2(x) 图象的上方.
∴y=f2(x)与y=f3(x)的图象在第一象限有两个交点. 即方程f(x)=f(a)有两个正数解. ②
于是由①、②知,当a>3时,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
证法二: 由f(x)=f(a)得x2+ = (x-a)(x+a- )=0
∴x=a为方程f(x)=f(a)的一个实数解. ①
又方程 x+a- =0可化为ax2+ －8=0 ②
由a>3得方程②的判别式Δ=a4+32a>0
∴由②解得x2= ,x3=
∵x20, ∴x1≠x2 且x2≠x3 ③
此时,若x1= x3,则有a= 3a2= a4=4aa=0 或 a=
这与a>3矛盾,故有x1≠ x3 ④
于是由①、③、④知,原方程有三个实数解.
点评:以上两种解法各有短长.解法一转化为两个函数图象的交点问题,显直观灵活,但本题的求解头绪较多且比较隐蔽;解法二立足于求解方程,感觉踏实稳健,但有时会招致复杂的运算.对于所给相关问题究竟选择哪一种解法为上,则要具体情况具体分析,不可一概而论.
二.高考考点
1.映射中的象与原象的概念;
2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;
3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;
4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.
三.知识要点
(一)函数的定义
1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).
2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有确定的数f(x)和它对应,那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.
3、认知:
①注意到现代定义中"A、B是非空数集",因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在.
②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.
(二).映射的概念
将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.
1、定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f：A→B
2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射 f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f：a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.
3、认知:
映射定义的精髓在于"任一(元素)对应(元素)",即A中任一元素在B中都有的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可"一对多",允许"多对一".因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为"满射"和"非满射"两类.
集合A到集合B的映射 f：A→B是一个整体,具有方向性； f：A→B 与 f：B→A 一般情况下是不同的映射.
（三）、函数的表示法
表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.
1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.
2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数.
3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.
图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.
认知:函数符号的意义
在函数的概念中,我们用符号"y=f(x)"表示"y是x的函数"这句话.
其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则"f"表示解析式蕴含的对自变量x施加的"一套运算的法则",即一套运算的框架.
具体地,对于函数f(x)=5 -2x+3(x>1) ① 对应法则"f"表示这样一套运算的框架:5( ) －2（ ）＋3，（ ）＞1．
即f: 5( ) -2( )+3,( )>1. 据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:
f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5 -2a+3 (a>1);
f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5 -2x+3 (x>1);
f(g(x)):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有 f(g(x))=5 (x)-2g(x)+3 ( g(x)>1 ) ②
感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味①、②,不难从中悟出这样的代换规律:
f(x)的解析式f[g(x)]的表达式
我们将上述替换形象地称之为"同位替换".
显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于"等量替换"，又高于"等量替换"，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是"等量替换"所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例.
四.经典例题
例1.如右图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=t,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中( )
分析1:立足于f(t)在t∈[0,1]上的函数式.直线OA的方程为y=2x, 故当0≤t≤1时, s＝ ，,由此否定A,B,D,应选C.
分析2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态.
当l在O,D之间运动时,S随着t的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即ΔS1, ΔS2..., ΔSn是递增的(ΔSi是单位时间内面积的增量),故排除A和B,对于C和D,由t∈[0,1]时f(t)= 的凹凸性可排除D,故应选C.
例2.如图所示,梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(6,0),
B(4,2),C(2,2),一条与y轴平行的直线l从点O开始作平行移动,到点A为止.设直线l与x轴的交点为M,OM=x,并记梯形被直线l截得的在左侧的图形面积为y,求函数 y=f(x)的解析式,定义域及值域.
分析:如图,由于点M位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定l左侧图形形状的关键点,故以x=2,4 分划讨论的区间.
解: (1)当0≤x≤2时,上述图形是一等腰RtΔ,此时, y＝ ,即 ;
(2)当2<x≤4时,上述图形是一直角梯形.注意到它可分割为一个等腰rtΔ(确定的)和一个矩形,此时 ,即y="2x-2; (3)当4<x≤6时,上述图形是一个五边形,它可看成原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线l右侧),此时 ,即 因此,综合(1)、(2)、(3)得所求y=f(x)的解析式为
由此可知,f(x)的定义域为[0,2]∪ ∪ =[0,6].
又当0≤x≤2时, ,即此时0≤y≤2; 当2<x≤4时,2<2x-2≤6,即此时2<y≤6;
当4<x≤6时,6< ∪="[0,8]<br" ≤8,即此时6 点评:分段函数问题的基本解题策略:分段研究,综合结论.不过,在研究由实际问题产生的函数及其两域时,必须具体问题具体分析,必须考虑所给问题的实际情况.
例3. (1)已知f(x)=x2+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式; (2)已知 ,求f(x＋1)的解析式.
解: (1) ∵f(x)=x2+2x-1 (x>2) ∴以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+1>2)
∴f(2x+1)=4x2+8x+2 (x>1/2 )
(2)由已知得 ∴以x替代上式中的 得 f(x)=x2-1 (x≥1)
∴f(x+1)=(x＋1)2-1 (x+1≥1) 即f(x+1)=x2+2x (x≥0)
点评:上述求解也可运用换元法,但是,不论是"换元法",还是上面实施的"同位替换",它们都包括两个方面的替换:
(1)解析式中的替换; (2) 取值范围中的替换. 根据函数三要素的要求,这两个方面的替换缺一不可.
例4. 设y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],f(x-1)=x2,试求不等式f(1-x)<x的解集.
分析:为将不等式f(1-x)<x具体化,根据"同位替换"法则,先求f(1-x)的表达式.
解:由题设知,在y= f(2x+1)中有-1≤x≤1 -1≤2x+1≤3,
∴运用"同位替换"的思想 在f(x-1)中应有-1≤x-1≤3 ① 又由题设知f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1 ②
∴由①、②得f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1 (-1≤x-1≤3) ∴f(1-x)=(1-x)2+2(1-x)+1 (-1≤1-x≤3) 即f(1-x)=x2-4x+4 (-2≤x≤2)
于是有f(1-x)<xx2-4x+4<x(-2≤x≤2)x2-5x+4<0(-2≤x≤2)(x-1)(x-4)<0(-2≤x≤2)1<x<4(-2≤x≤2)1<x≤2
因此,所求不等式f(1-x)<x的解集为 . 点评:在这里,三个不同函数f(2x+1), f(x-1), f(x+1)均以x为自变量,x是"一仆三主".因此,在探求函数解析式或定义域时,一定要注意"两方替换",双管齐下.本例便是多次实施同位替换的良好范例.
例5. (1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B
①若映射f满足f(a)>f(b)≥f(c),则映射f的个数为 ;
②若映射f满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则映射f的个数为 ;
③若映射f满足 f(a)-f(b)=f(c), 则映射f的个数为 .
(2)设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从A到B的映射f满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),则映射f的个数为 .
分析:注意到f(a)的意义:在映射f：A→B之下A中元素a的象,故有f(a),f(b),f(c)∈B.为便于梳理思路,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法.
解: (1)由已知得f(a),f(b),f(c)∈B
①列表法：∵f(a)>f(b)≥f(c) ∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.
根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察: f(a) f(b) f(c) 1 0 0 1 0 -1 1 -1 -1 0 -1 -1 由此可知符合条件的映射是4个.
②列表法:注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值(从小到大)为主线列表考察 f(a) f(b) f(c) 0 0 0 0 1 -1 0 -1 1 1 0 -1 1 -1 0 -1 1 0 -1 0 1
由此可知符合条件的映射有7个.
③分类讨论：f(a)-f(b)=f(c) f(a)=f(b)+f(c)即a的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线(从小到大)展开讨论.
（ i ）当象集合为单元素集合时,只有象集{0}满足已知条件,此时符合条件的映射f只有1个.
（ ii ）当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0}或{1,0} {-1,0}:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;{1,0}:1=0+1,1=1+0
此时符合条件的映射有4个.
（ iii ）当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0,1} {-1,0,1}: 0=1+(-1), 0=(-1)+1∴此时符合条件的映射f有2个
于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为7.
(2)分类讨论:以象集合中元素的个数(从小到大)为主线展开讨论.
(i)当象集合为单元素集时,象集为{6}或{7}或{8},故此时满足条件的映射f有3个;
(ii)当象集合为双元素集时,先将A中元素分为两组,有 种分法,又每两组的象有3种情形,故此时符合条件的映射f有 ×3=12个;
(iii)当象集合为三元素集时,先将A中元素分为3组,有 种分法，又每三组的象只有1种情形,故此时符合条件的映射f有 ×1=6个。于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为3+12+6=21.
点评:在认知f(λ)(λ∈A)的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用方法(通性通法),请同学们在今后的解题中注意应用.
例6. 已知函数f(t)对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.
(1)求f(1)的值; (2)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.
分析:这是未给出具体的函数解析式,只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性,循着"一般"与"特殊"之间的辩证关系,想到从"特殊"(特殊取值或特殊关系)入手去破解"一般",以寻出目标.
解: (1)为了出现f(1),在上述恒等式中令x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1) ① 又令x=0,y=0得f(0)=-1 ②
令x=-1,y=-1得 f(-2)=2f(-1)+2 ∵f(-2)=-2, ∴f(-1)=-2 ③ ∴将②、③代入①得f(1)=1.
(2)为利用f(1)=1,在上述恒等式中令x=1得f(y+1)=f(y)+y+2f(y+1)-f(y)=y+2 ∴当t∈Z时,有f(t+1)-f(t)=t+2 ④
根据④,运用阶差法得 f(t)=f(1)+[f(2)-f(1)]]+...+[f(t)-f(t-1)] ∴f(t)=1+(1+2)+(2+2)+...+[(t-1)+2]=1+2(t-1)+ 即f(t)= ∴f(t)=t t2+t-2=0 (t-1)(t+2)=0 t=1或t=-2
于是可知,满足f(t)=t的整数t只有两个:t=-2,t=1.
点评: 函数f(x)当x取正整数时的问题，即为数列问题.所以,这里运用(或借鉴)了数列求和的思想或方法(阶差法或分项法).看透问题,把握本质,解题时方能联想顺畅,入手准确.这是我们始终所追求的境界.
五. 高考真题
(一)选择题
1. 在y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x这四个函数中,当0<x1<x2<1时, ). A.0 B.1 C.2 D.3
分析:运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2∈I,且x1<x2,当f(x)总满足 本题应选b 2.已知 ,则f(x)的解析式可取为( )
A. B. C. D.
分析:运用直接法． 令 =t，则x= (t≠-1), ∴f(t)= (t≠-1)∴f(x)= (x≠-1) 应选C
说明:注意到对于 ,有 =－1+ ≠-1,∴对于 f(x)应有x≠-1.若选项中的函数附加定义域,则从定义域入手筛选为上乘解法.
3. 设函数f(x)= ,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
分析: 从确定f(x)的解析式入手.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得
∴方程f(x)=x 或 或x=2 或x=2, 故本题应选C
4.设函数f(x)= ,则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为( )
A. ∪[0,10] B. ∪[0,1] C. ∪[1,10] D.[-2,0]∪[1,10]
分析:注意到解决分段函数的基本策略:分段研究,综合结论.
f(x)≥1 或 x≤-2 或 0≤x≤10,故应选A
运用特取法:取 ,则 ,由此否定C,D;取x=2,得 ,由此否定B,故本题应选A
(二)填空题
1.已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3, f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b= .
分析: 由f(x)=x2+4x+3得 f(ax+b)=(ax+b)2＋4（ax+b）+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3,
∴由已知条件得a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3= x2+10x+24
故有 ∴5a-b=2
2. 对于函数定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论:
① f(x1+x2)= f(x1)・f(x2) ② f(x1・x2)= f(x1)+f(x2)
③ ; ④ .
当f(x)=lgx时,上述结论中正确结论的序号是 .
分析:根据对数的运算法则知②正确,①不正确; 借助f(x)=lgx的图象,考察 的几何意义;经过点(x1, f(x1)),( x2, f(x2))的直线的斜率,可知③正确;注意到f(x)=lgx的图象"上凸",可知④正确.故本题应填②、③、④.
3.已知 ,则不等式x+(x+2)・f(x+2)≤5的解集是 .
分析: 注意到原不等式中"f"之下的式子为(x+2),为利用已知条件化抽象为具体,故从x+2的符号或取值入手进行讨论和等价转化. 原不等式 或 或 x<-2
∴原不等式的解集为 .
(三)解答题
1. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.
(1)求函数g(x)的解析式; (2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
分析: 求"对称曲线"的函数式或方程,基本策略是从点的对称切入探求.而对于含有绝对值的不等式,在运用公式或平方去掉绝对值不能实现时,"分类讨论"乃是解题取胜的杀手锏.
解: (1)设点Q(x0,y0)为y=f(x)图象上任意一点,点Q关于原点的对称点为P(x,y),则有
① ∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)图象上 ∴y0=x02+2x0②∴①代入②得-y=(-x)2+2(-x)
即 y=-x2+2x 故有g(x)=-x2+2x
(2) g(x)≥f(x)-|x-1|2x2-|x-1|≤0 当x≥1时,2x2-x+1≤0, 此不等式无解; 当x<1时, 2x2+x-1≤0 .
∴原不等式的解集为 .
点评:以"点对称"入手破解对称问题,以"绝对值的零值"分划讨论的区间,这都是解决相关问题的基本策略.
2.已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B, = ( 分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2-x-6
(1) 求k、b的值; (2) 当x满足f(x)>g(x)时,求函数 的最小值.
分析:对于(1),注意到k、b含在f(x)的解析式中,故从探求A、B点坐标切入,利用 = 建立方程或方程组;对于(2),则要注意立足于不等式f(x)>g(x)的解集，探求所给函数的最小值.
解: (1)由已知得A(- ,0),B(0,b),从而 =( ,b)、又 =(2,2),故得 ∴所求k=1,b=2.
(2) f(x)>g(x) x+2>x2-x-6 x2-2x-8<0 -2<x<4 ①
= = =(x+2)+ -5 (分离整式项) ②
又由①知 0<x+2<6 ③
∴由②得 -5=-3当且仅当x+2= 即x=-1(满足①式)时等号成立.
∴函数 的最小值为-3.
点评:在这里,运用不等式求所给函数的最小值,函数式的分离整式项的变形至关重要.一般地,当分子次数等于分母次数时,分式可分离出一个常数项;当分子次数大于分母次数时,分式可分离出一个整式项."分离"整式项的手法,是在分子实施"配凑",将分子表示为分母的函数式.
3.已知函数f(x)= (a,b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式; (2)设k>1,解关x的不等式 .
分析: 对于(1),从已知方程的实根入手推理.对于(2),则要注意求解分式不等式的基本过程:移项-通分-分解因式-转化(为整式不等式)-求解.这是解决这类问题的规范性、完整性以及完解完胜的基础与保障.
解: (1) f(x)-x+12=0 -x+12=0 将x1=3,x2=4代入方程得 解得 ∴f(x)=
(2)原不等式 f(x)- (2-x)[ ]<0
(x-2)(x-1)(x-k)>0※
(I) 当1<k<2时,由(※)解得1<x 2; (II)当k=2时,由(※)得(x-2)2(x-1)>0 1<x 2;
(III)当k>2时,由(※)得1<x k. 于是可知,当1<k≤2时,原不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞);
当k>2时, 原不等式的解集为(1,2)∪(k,+∞).
点评:本题突出考察分类讨论与数形结合的思想.在解高次不等式时,若采用"根轴法"，则可使解答更为快捷准确,请同学们一试.
4.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x), y=g(x),规定:函数
(1) 若函数f(x)= ,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式; (2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;
(3) 若g(x)=f(x+ ),其中 是常数,且 ∈ ,请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个 的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
分析: 对于(1),注意到h(x)为分段函数,探求函数解析式要立足于"分段探求,综合结论"的基本策略.对于(3),这里g(x)=f(x+ ),又注意到在大前提中h(x)的表达式以及此时f(x),g(x)的定义域均为R,可得h(x)=f(x) f(x+ ),又h(x)=cos4x,于是可由f(x) f(x+ )=cos4x入手展开联想与探求,这里的探求自然是从cos4x的"一分为二"的变形入手.
解: (1)这里Df=(-∞,1)∪(1,+∞) Dg=R ∴当x∈Df且x∈Dg,即x∈(-∞,1)∪(1,+∞) 时， ;
当x Df且x ∈ Dg,即x=1时,h(x)=g(x)=1; 又x∈Df且x Dg的x不存在,故得
(2)当x≠1时, =(x-1)+ +2 ∴若x>1, 则x-1>0, h(x)≥4,当且仅当x=2时等号成立;
若x<1, 则 x-1<0, 故有h(x)≤0, 当且仅当x=0时等号成立. 又当x=1时,h(x)=1.
∴函数h(x)的值域为 ∪{1}∪ .
(3)由题意得h(x)=f(x) f(x+ ) ①
又注意到cos4x=cos22x-sin22x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=(cos2x+sin2x) ②
∴由①、②知, 令f(x)= cos2x+sin2x (x∈R) = 则有g(x)= f(x+ )= = cos2x－sin2x
于是有 h(x)=f(x) f(x+ )=( sin2x + cos2x)(cos2x-sin2x)= cos22x-sin22x=cos4x.
点评: (I) 对于 (1),务必要注意逐段考察, 不可忽略f(1)=1.
(II) 既要注意(3)中g(x)=f(x+ ),又要注意大前提下的h(x)的表达式,双方结合推出h(x)=f(x) f(x+ ).至此,解题的难点得以突破,问题便归结为将cos4x化为互有关联的两式之积的三角变换.
5. 已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x) (1)求函数f(x)的表达式; (2)证明: 当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.
分析: 由于二次函数与反比例函数的形式确定,故运用"待定系数法"探求f1(x)与f2(x);对于(2),当对方程f(x)=f(a)直接求解感到困难时,要想到运用数形结合思想,适时转化为两个函数图象的交点问题.
解: (1)由题意设f1(x)=ax2, f2(x)= (k>0), 由f1(1)=1得a=1,故f1(x)=x2 又y=f2(x)的图象与直线y=x的交点分别为A ,B ,则由|AB|=8得k=8,故f2(x)= ∴ f(x)=x2+
(2) 证法一: 由f(x)=f(a)得x2+ = =－x2+
在同一坐标系内作出f2(x)= 与f3(x)= －x2+ 的大致图象,注意到f2(x)= 的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)= －x2+ 的图象则是以点(0, )为顶点,开口向下的抛物线.因此f2(x)= 与f3(x)= －x2+ 的图象在第三象限有一个交点, 即f(x)=f(a)有一个负数解. ①
又∵f2(2)=4, f3(2)= -4 ∴当a>3时, f3(2)－f2(2)= -8>0,
∴当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2, f3(2))在y=f2(x) 图象的上方.
∴y=f2(x)与y=f3(x)的图象在第一象限有两个交点. 即方程f(x)=f(a)有两个正数解. ②
于是由①、②知,当a>3时,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
证法二: 由f(x)=f(a)得x2+ = (x-a)(x+a- )=0
∴x=a为方程f(x)=f(a)的一个实数解. ①
又方程 x+a- =0可化为ax2+ －8=0 ②
由a>3得方程②的判别式Δ=a4+32a>0
∴由②解得x2= ,x3=
∵x20, ∴x1≠x2 且x2≠x3 ③
此时,若x1= x3,则有a= 3a2= a4=4aa=0 或 a=
这与a>3矛盾,故有x1≠ x3 ④
于是由①、③、④知,原方程有三个实数解.
点评:以上两种解法各有短长.解法一转化为两个函数图象的交点问题,显直观灵活,但本题的求解头绪较多且比较隐蔽;解法二立足于求解方程,感觉踏实稳健,但有时会招致复杂的运算.对于所给相关问题究竟选择哪一种解法为上,则要具体情况具体分析,不可一概而论.
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