Question

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如图,AD是△ABC外角∠CAE的平分线,交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC。 （1）求证：FB=FC （2）求证：FB方=FA*FD （3）若AB是△ABC外接圆直径，∠CAE=120度，BC=15，求AD长。

Answer 1

解：（1）因为A、B、C、F四点共圆
故：∠FBC=∠CAD（∠FBC+∠FAC=∠CAD+∠FAC=180°）
因为AD是△ABC外角∠CAE的平分线
故：∠CAD=∠EAD
因为∠FAB=∠EAD=∠FCB（对顶角相等，同弧所对的圆周角相等）
故：∠FBC=∠FCB
故：FB=FC
（2）因为∠FCD=∠CFB+∠FBC=∠CFB+∠FCB=∠FAC（同弧所对的圆周角相等）
∠AFC=∠CFD
故：△FAC∽△FCD
故：FC/FD=FA/FC
故：FC²=FA•FD=
FB²
（3）因为AB是△ABC外接圆直径
故：∠ACB=90°
因为∠CAE=120°
故：∠BAC=∠DAC=60°
故：CA垂直平分BD（等腰三角形的三线合一）
故：AD=AB
因为BC=15
故：AB=10√3
故：AD=10√3