Question

已知函数f(x)=1/(4^x+2)(x∈R)点P1(x1,y1).P2(x2,y2)是函数f(x)图象上的两个点

已知函数f(x)=1/(4^x+2)(x∈R)点P1(x1,y1).P2(x2,y2)是函数f(x)图象上的两个点,且线段P1P2的中点P的横坐标为1/2. 1.求证:点P的纵坐标是定值. 2.若数列{an}的通项公式为an=f(n/m)(m∈N+,n=1,2,…,m)求数列{an}的前m项的和Sm.

Answer 1

（1）线段p1p2中点p纵坐标为：（y1+y2）/2
因为p横坐标为12,所以x1+x2=1，
其中y1+y2=1/(4^x1+2)+1/(4^x2+2)
=(4^x1+4^x2+4)/[4^(x1+x2)+2*4^x1+2*4^x2+4)]
=(4^x1+4^x2+4)/[4^+2*4^x1+2*4^x2+4)]=1/2
所以（y1+y2）/2=1/4,即纵坐标定值。
（2）Sm=f（1/m）+f(2/m)+……+f[(m-1)/m]+f(m/m)
当m=2k时（偶数）
Sm={f(1/m)+f[(m-1)/m]}+{f[(2/m)+f(m-2)/m]}+……+f（m/2m）+f(m/m)
利用第一问结论
=1/2+1/2+……+1/2+f(1)
=(m-2)/2*1+1/2+1/6=m/2-1/3
当m=2k+1时（奇数）
Sm={f(1/m)+f[(m-1)/m]}+……+{f[（m-1)/2]+f[（m-1)/m+1]}+f(m/m)
=(m-1)/2*1+f(1)=m/2+1/6