Question

f(0)=f(1)=0

设f(x)在[0,1]内连续,(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证
（1）至少存在一点ξ∈(1/2,1),使得f(ξ)=ξ;
(2)至少存在一点η∈(0,ξ),使得f'（η）=1；
（3）对任意实数λ,必存在x0∈(0,ξ),使得f'(x0)-λ[f(x0)-x0]=1
第一二问会,求解第三问,

Answer 1

(1) .令F(x) = f(x) - x
F(1/2) =f(1/2) - 1/2 =1/2>0
F(1 ) = f(1) -1 =-1<0
所以：F(1/2) *F(1) <0
由介值定理,在ξ∈(1/2,1),必有F(ξ) = 0
既：f(ξ)=ξ;
(2).令F(x) = f(x) -x
F(1/2) =f(1/2) - 1/2 =1/2>0
F(1 ) = f(1) -1 =-1<0
所以：F(1/2) *F(1) <0
由介值定理,在ξ∈(1/2,1),必有F(ξ) = 0,又F(0) = 0
在[0,ξ]上对F(x)用罗尔定理,存在η∈(0,ξ),使得F‘(ξ) = 0
既：f'（η）= 1
(3).令g(x) =exp(-λx)*F(x)
又：g(0) = 0,g(ξ) = 0.
由罗尔定理,
对任意实数λ,必存在x0∈(0,ξ),
使得：g'(x0) =exp(-λx0)*[f'(x0) - 1 - λ[f(x0)-x0]] =0
又exp(-λx0)>0
既：f'(x0)-λ[f(x0)-x0]=1

exp表示自然对数.exp(-λx)表示exp的-λx 次方