Question

已知二元二次方程的图像与x, y的关系，怎么求解？

Answer 1

【问题答案】用旋转矩阵将一般式的二元二次方程转换成标准式的二元二次方程。x²+xy+y²＝1的图形（斜椭圆），经逆时针旋转45°后，转换成x²/2+2/3y²＝1的图形（椭圆）。

【求解思路】在直角坐标系引入θ变量，旋转矩阵A

展开后，得x=x'·cos(θ)+y'·sin(θ)，y=y'·cos(θ)-x'·sin(θ)，这里x'和y'是新的坐标。实际上就是通过角度转化，将曲线的一般式方程转换成标准式方程，然后根据现有的曲线方程来判断其图形。

【计算过程】

解：由旋转矩阵，得

x=x'·cos(θ)+y'·sin(θ)

y=y'·cos(θ)-x'·sin(θ)

将x和y代入x²+xy+y²中，有

x²+xy+y²＝(x'·cos(θ)+y'·sin(θ))²+(x'·cos(θ)+y'·sin(θ))·(y'·cos(θ)-x'·sin(θ))+(y'·cos(θ)-x'·sin(θ))²

=x'²+y'²+x'²·cos(θ)*sin(θ) - y'²·cos(θ)*sin(θ)+x'·y'·cos²(θ) - x'·y'·sin²(θ)

令cos²(θ)- sin²(θ)=0，解三角函数方程。得

θ=-45°

将θ=-45°代入，得到下列方程

(1+cos(θ)·sin(θ))·x'² +(1-cos(θ)·sin(θ))·y'=1

x²/2+2/3y²＝1

【旋转变换前后的图形】

【本题知识点】

旋转矩阵，是在乘以一个向量的时候改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。

二维坐标系旋转变换的图形关系