Question

如何证明a,b,c都为正数时,算术平均数大于等于几何平均数?

Answer 1

策略 1st.先证a,b 2nd.再证a,b,c,d 3rd.便可以求a,b,c
1.因为 (根号a-根号b)^2 >= 0 所以 a+b >= 2根号ab
所以(a+b)/2 大於等於 根号ab
2.[(a+b)/2 + (c+d)/2]/2=(a+b+c+d)/4 >= 根号{[(a+b)/2]*[(c+d)/2]}
根号{[(a+b)/2]*[(c+d)/2]} >= 根号[根号ab*根号cd]=4次根号(abcd)
所以 (a+b+c+d)/4 >= 4次根号(abcd)
3.令d=(a+b+c)/3 则 d=(a+b+c+d)/4 >=4次根号(abcd)
d的4次方 >= abcd 去掉d则 d的3次方 大於等於 abc
所以d=(a+b+c)/3 >= 3次根号(abc)

Answer 2

http://stu.bdchina.com/xinbanziyuan/63/shang/g2/g2sx/tgg2sx01.1.htm

这里有详细的证明过程