Question

证明:算术平均数大于等于几何平均数(n次)

不要数学归纳法，不要传送门，不要太高端......
重复下，n次 不要数学归纳法，不要传送门，不要太高端......

Answer 1

设f(x)=e^(x-1)– x, f’(x)=e^(x-1)-1; f”(x)=e^(x-1)
f(1)=0,f’(1)=0,f”(x)>0, ∴f(x)在x=1有绝对的最低值
f(x)=e^(x-1)- x≥f(1)=0
∴e^(x-1) ≥ x--------------------------------------(1)
设xi>0,i=1,n
设算术平均值a=(x1+x2+x3+…+xn)/n,a>0,
从(1), x/a ≤ e^(x/a-1) -------------------(2)
从(2), (x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a ) ≤ e^(x1/a-1) e^(x2/a-1)e^(x3/a-1)… e^(xn/a-1)
=e^(x1/a-1+x2/a-1+x3/a-1+…xn/a-1)=e^[(x1+x2+x3+…+xn)/a-n]
=e^[na/a-n]=e^0=1
∴(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a )=(x1*x2*x3*…*xn)/a^n ≤ 1
(x1*x2*x3*…*xn) ≤ a^n
(x1*x2*x3*…*xn)^(1/n) ≤ a ,即算术平均数大于等于几何平均数

Answer 2

证明：设f（x）=lnx，则f'（x）=1/x,f''(x)=-1/x^2<0
故f（x）=lnx为上凸单调增函数.
则ln((x1+x2+x3...+xn)/n)>=(ln(x1)+ln(x2)+ln(x3)+...+ln(xn))/n=ln(n次根号下x1x2x3...xn)
因此((x1+x2+x3...+xn)/n>=n次根号下x1x2x3...xn

Answer 3

(a+b)/2>=√ab
两边同时平方变换后有
a^2+b^2+2ab>=4ab
整理有：
a^2-2ab+b^2>=0
(a-b)^2>=0
一个数的平方值是大于等于0的
证明成立

Answer 4

当b>0,a>0时,证明:(a+b)/2>=(ab)^1/2

易知,(a+b)^2>=0
=>a^2+b^2>=2ab=>(a^2+b^2)/2>=ab
因为 a^1/2>0,b^1/2>0
带入上式
(a+b)/2>=(ab)^1/2

注视^为乘方符号,4^1/2四的二分之一次方表示根号四

Answer 5

我们先证明2个数的成立
a^2+b^2>=2ab
(1/2)(x+y)>=(xy)^(1/2)
然后我们发现4个数的也是成立的。

(1/2)(p+q)>=(pq)^(1/2)
(1/2)(r+s)>=(rs)^(1/2)
所以
(1/4)(p+q+r+s)>=(1/2)[(pq)^(1/2)+(rs)^(1/2)]>=(pqrs)^(1/4)

同理，8个数的也是对的。

然后我们看看如果是其他数，不是2的幂次，我就给你举个例子，比如3，3不是2的幂次，但是比2大比4小，所以我们可以用4的情形改进得到。

(1/4)(p+q+r+s)>=(1/2)[(pq)^(1/2)+(rs)^(1/2)]>=(pqrs)^(1/4)
在这个式子中，我们让s＝(pqr)^(1/3)

(1/4)(p+q+r+(pqr)^(1/3))
>=(1/2)[(pq)^(1/2)+(r(pqr)^(1/3))^(1/2)]
>=(pqr(pqr)^(1/3))^(1/4)
=(pqr)^(1/3)
所以
(1/4)(p+q+r)>=(3/4)(pqr)^(1/3)
(1/3)(p+q+r)>=(pqr)^(1/3)