Question

设数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足Sn=2-an,n=1,2,3,…。（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若数列｛bn｝

帮忙下十分感谢
(2)若数列｛bn｝满足b1=1,且b_n+1=bn+an,求数列｛bn｝的通项公式；（3）设Cn=n(3-bn),数列｛Cn｝的前n项和为Tn,求证：Tn<8.

Answer 1

一般碰上这种数列题，都是一种解题的思路：

Answer 2

）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．
因为Sn=2-an，即an+Sn=2，所以an+1+Sn+1=2．
两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0，即an+1-an+an+1=0，故有2an+1=an．
因为an≠0，所以
an+1an
=
12
（ n∈N*）．
所以数列{an}是首项a1=1，公比为
12
的等比数列，an=(
12
)n-1（ n∈N*）．
（2）因为bn+1=bn+an（ n=1，2，3，…），所以bn+1-bn=(
12
)n-1．从而有b2-b1=1，b3-b2=
12
，b4-b3=(
12
)2，…，bn-bn-1=(
12
)n-2（ n=2，3，…）．
将这n-1个等式相加，得bn-b1=1+
12
+(
12
)2+…+(
12
)n-2=
1-(12)n-11-12
=2-2(
12
)n-1．
又因为b1=1，所以bn=3-2(
12
)n-1（ n=1，2，3，…）．
（3）因为cn=n （3-bn）=2n(
12
)n-1，
所以Tn=2[(
12
)0+2(
12
)+3(
12
)2+…+(n-1)(
12
)n-2+n(
12
)n-1]． ①

12
Tn=2[(
12
)1+2(
12
)2+3(
12
)3+…+(n-1)(
12
)n-1+n(
12
)n]． ②
①-②，得
12
Tn=2[(
12
)0+(
12
)+(
12
)2+…+(
12
)n-1]-2n(
12
)n．
故Tn=4
1-(12)n1-12
-4n(
12
)n=8-
82n
-4n(
12
)n=8-(8+4n)
12n
（ n=1，2，3，…）．

Answer 3

山东省