Question

已知函数f(x)=(x^2+2x+3)/x (x属于[2,+∞),求f(x)的最小值

Answer 1

f(x)=(x^2+2x+3)/x=x+2+3/x，x∈[2，＋∞）

设2≤x1<x2
则f(x2)-f(x1)=(x2+2+3/x2)-(x1+2+3/x1)
=(x2-x1)+(3/x2-3/x1)
=(x2-x1)+3(x1-x2)/x1x2
=(x2-x1)(1-3/x1x2)
∵2≤x1<x2，∴x2-x1>0
∵x1x2≥4，∴1/4≤(1-3/x1x2)<1
∴(x2-x1)(1-3/x1x2)>0即f(x2)-f(x1)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在[2，+∞)上是增函数.

∴当x=2时，f(x)的最小值=f(2)=11/2.

注：如果利用基本不等式x+3/x≥2√3是不对的，
因为取等号的条件x=3/x即x=√3，√3不在[2，+∞)内，所以等号取不到.

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