Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF=BD，连结BF。 （1

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF=BD，连结BF。
（1） 求证：D是BC的中点。
（2） 如果∠BAC=90°，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论

Answer 1

解：（1）∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠CDE，
∵∠AEF=∠DEC，AE=DE，
∴△AEF≌△DEF，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD．
（2）∵AF∥BC，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴四边形AFBD是矩形．

（3）∵∠BAC=90°，BD=CD，
∴BD=AD（直角三角形斜边的中线是斜边的一半）．
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是菱形．

Answer 2

（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵∠AEF=∠DEC，
∴△AEF≌△DEC．
∴AF=DC，
∵AF=BD
∴BD=CD，
∴D是BC的中点；

（2）四边形AFBD是矩形，
证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AF=BD，AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形．

Answer 3

1.AF‖BC，∠AFC=∠DCF，AE=DE，∠AEF=∠CED
△AFE≌△CDE
AF=CD，又有AF=BD，所以BD=CD
2.AF‖BD，AF=BD，四边形AFBD是平行四边形
BD=CD，D是BC中点。AB=AC，△ABC是等腰三角形。
所以AD⊥BD。
因此四边形是矩形

Answer 4

题是错的
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