Question

关于不等式和函数定义域的一题。

设集合A={x|-2<=x<=3}.<=是小于或等于。为函数y=lg(kx2+4x+k+3)的定义域，当B是A的子集时，求实数k的取值范围。

Answer 1

因为B为函数y=lg(kx2+4x+k+3)的定义域,
所以B一定是非空数集且是不等式kx2+4x+k+3>0的解集
又因为B是A的真子集,A=[-2,3]
所以根的判别式=16-4k(k+3)>0
且k<0
且4k-8+k+3<=0和9k+12+k+3<=0
所以k^2+3k-4<0且k<0且k=<1且k=<-3/2
所以-4<k<1且k<0且k=<1且k=<-3/2
所以-4<k=<-3/2
所以k的取值范围为(-4,-3/2]

Answer 2

也就是y的x1.x2两根为-2和3 根据x1.x2=-4-+[16-4k(k+3)]^(1/2)/2k k1=1 k2=3/2 因为B是A的子集,所以1<k<3/2

Answer 3

解析：∵集合A={x|-2<=x<=3}等价于区间[-2，3]
集合B为函数y=lg(kx2+4x+k+3)的定义域，且是A的子集
使函数y=lg(kx2+4x+k+3)有意义
则kx2+4x+k+3>0
令kx2+4x+k+3=0
则x1=[-4-√(16-4k(k+3))]/(2k)，x2=[-4+√(16-4k(k+3))]/(2k)
∵当k>0时，不等式的解集为(-∞,x1)或(x2,+∞)
这与题意相左，∴必k<0
要使x1,x2存在，必使16-4k(k+3)>0==>4-k(k+3)>0==>k^2+3k-4<0==>-4<k<1
∴-4<k<0
令x1=[-4-√(16-4k(k+3))]/(2k)>=-2
∵k<0，∴解得k<=0或k>=4/3
x2=[-4+√(16-4k(k+3))]/(2k)<=3
∵k<0，∴解得k<=-3/2或k>=0
综上：满足题意的实数k的取值范围为(-4,-3/2]