Question

已知函数f(x)的定义域为{ x|x≠kπ},且对于定义域内的任何x,y有f(x-y)=f(x)f(y)+1 / f(y)-f(x)成立

已知函数f(x)的定义域为{ x|x≠kπ},且对于定义域内的任何x,y有f(x-y)=f(x)f(y)+1 / f(y)-f(x)成立，且f(a)=1（a为大于0的常数）,当0<x<2a,f(x)>0
1）判断f(x)奇偶性
2）求f(x)的周期函数
3）求f(x)在[2a,3a]上的最小值和最大值

Answer 1

1)f(x-a)=(f(x)+1)/(1-f(x))
f(a-x)=（f(x)+1)/(f(x)-1)
即 f(x)=-f(-x）
故 为奇函数

2) f(x-a)=(f(x)+1)/(1-f(x))
=(f(x+a)+1-f(a+x))/(1-f(x+a)-f(x+a)-1)
=-1/f(x+a)
所以 f(x)=-1/f(x+2a)=f(x+4a)
故 为周期性函数 T=4a

3）f(a)=1 故 f(-a)=-1 因此 f(3a)=-1
f(2a)=f(a-(-a))=（f(a)f(-a)+1）/（f(-a)-f(a)）=0

因为 0<x<2a,f(x)>0 且为奇函数
所以 -2a<x<0时 f(x)<0
因为 T=4a
所以 2a<x<4a时 f(x)<0
故f(x)max=0

由 f(x-y)=（f(x)f(y)+1）/（f(y)-f(x)）
知 f(y)-f(x)=（f(x)f(y)+1）/f(x-y)
设 x1，x2 在（2a,3a]中x1<x2
f(x2)-f(x1)=（f(x1)f(x2)+1）/f(x1-x2)

由于2a<x<4a时 f(x)<0
故 f(x1)<0 f(x2)<0
f(x1)f(x2)>0

由于 -a<x1-x2<0
故 f(x1-x2)<0

所以f(x2)-f(x1)=（f(x1)f(x2)+1）/f(x1-x2)<0
所以f(x)在（2a,3a]上单调递减

所以 f(x)min=-1
f(x)max=0

所以在[2a,3a]上f(x)min=-1