Question

一道高中数列题

已知数列an中,a1=1,a2=2,且a(n+1)=(1+q)an-qa(n-1) (n≥2，q≠0）

一、设bn=a(n+1)-an (n∈N*）证明bn是等比数列
二、求数列an的通项公式.

Answer 1

一简单：
由已知式直接得a(n+1)-an=q[an-a(n-1)](n≥2)
即bn=qb(n-1)(n≥2，q≠0）,
而且b1=a2-a1=1 ≠0（这个关键）
因此bn是等比数列
二也是：
得bn=q^(n-1)
因此n≥2 时an=【an-a(n-1)】+。。。（a2-a1）+a1=b(n-1)+...b1+1
若q=1,bn=1,an=n(a1=2符合);
若q≠1,an=1-q^(n-1)/1-q +1（n≥2)，a1=1不符合该式

Answer 2

一：
a(n+1)=(1+q)an-qa(n-1) 推出 a(n+1)-an=q[an-a(n-1)] 推出
[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=q 因为 q不等于零 bn=a(n+1)-an 所以
bn/b(n-1)=q 得证
二：由于a1=1 a2=2 得b1=a2-a1=1
由叠加法得：
b1=a2-a1
b2=a3-a2
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b(n-1)=an-a(n-1)
bn=a(n+1)-an
得：
Sbn=a(n+1)-a1
bn用求和公式即可求得
在考虑a1是否符合通项公式，若符合即可，不符合要单列出来。
很久没做数学题了，呵呵.........见谅