已知P是△ABC所在平面外一点,PA、PB、PC两两互相垂直,H是△ABC的垂心,求证:PH⊥平
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因为PA、PB、PC两两互相垂直
所以PA垂直平面PBC,PB垂直平面PAC,PC垂直平面PAB
因为H是△ABC的垂心
所以AH(AP在平面ABC上的投影)垂直BC
BH(BP在平面ABC上的投影)垂直AC
CH(CP在平面ABC上的投影)垂直AB
即P在平面ABC上的投影为AH,BH,CH交点H
所以PH垂直平面ABC
所以PA垂直平面PBC,PB垂直平面PAC,PC垂直平面PAB
因为H是△ABC的垂心
所以AH(AP在平面ABC上的投影)垂直BC
BH(BP在平面ABC上的投影)垂直AC
CH(CP在平面ABC上的投影)垂直AB
即P在平面ABC上的投影为AH,BH,CH交点H
所以PH垂直平面ABC
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