Question

指数函数求和（求极限）

图一中的极限如何求，貌似答案是1/1-x（图二中标记的部分），但是如何证明？

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Answer 1

计算一下即可求出结果。

追问

我补充下求和公式的推导，应该就完美了，谢啦

Answer 2

指数函数求和指的是求以下形式的极限：
$$\lim_{n\to \infty} (a^n+b^n+c^n+\cdots)$$
其中$a,b,c,\cdots$是常数。
这个极限的结果是取决于$a,b,c,\cdots$的大小关系的。

1. 当$a,b,c,\cdots$中最大的数大于1时：如果最大的数是$a$，那么极限会趋向于正无穷；如果最大的数是$b,c,\cdots$中的某个数，那么极限会趋向于这个数。

2. 当$a,b,c,\cdots$中最大的数等于1时：如果$a,b,c,\cdots$中只有有限个数不为1，那么极限会趋向于非零有限的某个数；如果$a,b,c,\cdots$中有无限多个数不为1，那么极限不存在。

3. 当$a,b,c,\cdots$中最大的数小于1时，极限会趋向于0。

总结来说，指数函数求和的极限取决于其中的常数的大小关系，可以根据最大的数的大小来判断极限的趋向。

Answer 3

这就是等比数列求和公式
首项为1，公比为x的数列，前n项和
Sn=1*(1-x^n)/(1-x)=(1-x^n)/(1-x)
当n->∞时，因为-1<x<1，所以x^n->0
即S=(1-0)/(1-x)=1/(1-x)

Answer 4

Answer 5

这不是以首项为1，公比为x得等比数列求和公式么？