Question

求和函数极限

Answer 1

分享一种解法，应用“广义二项展开式”及“等价无穷小量”替换求解。
∵(1+x)^α=1+αx+[α(α-1)/2!]x²+……，∴x→0时，(1+x)^α~1+αx。
本题中，1≤k≤n、n→∞时，k/n²→0，∴(1+k/n²)^(1/3)~1+k/(3n²)。
∴原式=lim(n→∞)∑k/(3n²)=1/6。
供参考。

追问

最后一步怎么得出1/6的？

追答

k=1,2，……，n时，∑k=n(n+1)/2。代入、求极限即可。

追问

最后一步怎么化为积分的

追答

根据定积分的定义，视“1/n”为dx、“k/n”为x、x∈(0,1]即可。