Question

求解常微分方程

Answer 1

解:若微分方程为二阶非齐次线性微分方程

∵方程的特解为1、x、x³

又∵这三个解为线性无关解

∴x³-1、x-1为该方程的齐次线性微分方程的解，该方的通解为y=a(x³-1)+b(x-1)+1

Answer 2

y'''=(y''-1)²；-y'-y²；
y（0）=0，y'(0)=1，y''(0)=-1，
代入：y'''(0)=(-1-1)²；-1-0²；=3
y=±1，y'=y''=y'''=0，是一解。但是不满足初始条件。
y'''+y'=(y''-1+y)(y''-1-y)
(y''+y-1)'=(y''-1+y)(y''-1-y)
设y''-1+y=u，y''-1-y=y''+y-1-2y=u-2y
u'/u=u-2y
u'=u²；-2uy
u=0是一解：u'=0
y''-1+y=0
y''+y=1
特征方程：
λ²；+1=0，λ=±i
y=C1cosx+C2sinx
特解y=1，通解：
y=C1cosx+C2sinx+1
y'=-C1sinx+C2cosx
y''=-C1cosx-C2sinx
y'''=C1sinx-C2cosx
y''+y=1成立。
y(0)=C1+1=0，C1=-1
y'(0)=C2=1
y''(0)=-C1=1
满足题意。
y=-cosx+sinx+1
(y''-1)²；-y'-y²；
=(-C1cosx-C2sinx-1)²；-（-C1sinx+C2cosx）-（C1cosx+C2sinx+1）²；
=C1sinx-C2cosx
y'''=C1sinx-C2cosx
正确。
y'''(0)=-C2=-1，不正确。