Question

已知向量a=（根号3，1），向量b=（cosx/3，-sinx/3），记f（x）=2向量a·向量bsinx/3

（1）若x属于[0，π]，求函数f（x）的值域
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且b^2=ac，求sinA的值

Answer 1

f(x)=2[√3cos(x/3)-sin(x/3)]·sin(x/3)
=2√3sin(x/3)cos(x/3)-2sin²(x/3)
=√3sin(2x/3)-[1-cos(2x/3)]
=√3sin(2x/3)+cos(2x/3)-1
=2sin(2x/3+π/6)-1
(1)∵x∈[0,π]
∴2x/3∈[0,2π/3]
∴(2x/3+π/6) ∈[π/6,5π/6]
∴sin(2x/3+π/6)∈[1/2,1]
∴f(x)∈[0,1]即f(x)的值域为[0,1].
(2)f(C)=2sin(2C/3+π/6)-1=1
∴sin(2C/3+π/6)=1
∴2C/3+π/6=π/2
∴C=π/2
∴c²=a²+b²
又∵b²=ac
∴c²=a²+ac 即a²+ac-c²=0
∴a=(-1±√5)c/2
∴a=(√5-1)c/2 即a/c=(√5-1)/2
∴sinA=sinA/sinC=a/c=(√5-1)/2

Answer 2

向量b·sinx/3=( sin(2x/3)/2,(cos(2x/3)-1)/2 )
f（x）=2向量a·向量bsinx/3=2sin(2x/3+π/6)-1
故（1）值域为【0，1】
（2）c=π/2,即（cosA）^2=sinA整理得（sinA）^2+(sinA)-1=0
而sinA》0，故sinA=（根号5+1）/2